Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16200 / 12196
↖ ↑ ↗
← N 41.738529°
W  2.021484°		 ← 911.58 m → N 41.738529°
W  2.010498°		 →
↑
911.63 m
↓
↑
911.63 m
↓
N 41.730330°
W  2.021484°		 ← 911.69 m →
831 070 m²		 N 41.730330°
W  2.010498°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12196 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494400024414062 y=0.372207641601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494400024414062 × 215)
    floor (0.494400024414062 × 32768)
    floor (16200.5)     		tx = 16200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.372207641601562 × 215)
    floor (0.372207641601562 × 32768)
    floor (12196.5)     		ty = 12196
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16200 / 12196 ti = "15/16200/12196"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16200/12196.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16200 ÷ 215
    16200 ÷ 32768     		x = 0.494384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12196 ÷ 215
    12196 ÷ 32768     		y = 0.3721923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494384765625 × 2 - 1) × π
    -0.01123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03528156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3721923828125 × 2 - 1) × π
    0.255615234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.803038942435181
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03528156} λ = -0.03528156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.803038942435181))-π/2
    2×atan(2.23231450630489)-π/2
    2×1.14963553675274-π/2
    2.29927107350548-1.57079632675     		φ = 0.72847475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03528156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.021484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72847475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.738529°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16200 KachelY 12196 -0.03528156 0.72847475 -2.021484 41.738529
    Oben rechts KachelX + 1 16201 KachelY 12196 -0.03508981 0.72847475 -2.010498 41.738529
    Unten links KachelX 16200 KachelY + 1 12197 -0.03528156 0.72833166 -2.021484 41.730330
    Unten rechts KachelX + 1 16201 KachelY + 1 12197 -0.03508981 0.72833166 -2.010498 41.730330
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72847475-0.72833166) × R
    0.000143089999999901 × 6371000     		dl = 911.626389999372m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72847475-0.72833166) × R
    0.000143089999999901 × 6371000     		dr = 911.626389999372m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03528156--0.03508981) × cos(0.72847475) × R
    0.000191749999999997 × 0.746190678079219 × 6371000     		do = 911.575820325677m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03528156--0.03508981) × cos(0.72833166) × R
    0.000191749999999997 × 0.746285930072162 × 6371000     		du = 911.692183898897m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72847475)-sin(0.72833166))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.746190678079219-0.746285930072162)×R²
    abs(-0.03508981--0.03528156)×9.5251992943135e-05×R²
    0.000191749999999997×9.5251992943135e-05×6371000²
    0.000191749999999997×9.5251992943135e-05×40589641000000     		ar = 831069.615764143m²