Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16199 / 12197
↖ ↑ ↗
← N 41.730330°
W  2.032471°		 ← 911.69 m → N 41.730330°
W  2.021484°		 →
↑
911.75 m
↓
↑
911.75 m
↓
N 41.722131°
W  2.032471°		 ← 911.81 m →
831 292 m²		 N 41.722131°
W  2.021484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16199 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12197 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494369506835938 y=0.372238159179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494369506835938 × 215)
    floor (0.494369506835938 × 32768)
    floor (16199.5)     		tx = 16199
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.372238159179688 × 215)
    floor (0.372238159179688 × 32768)
    floor (12197.5)     		ty = 12197
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16199 / 12197 ti = "15/16199/12197"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16199/12197.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16199 ÷ 215
    16199 ÷ 32768     		x = 0.494354248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12197 ÷ 215
    12197 ÷ 32768     		y = 0.372222900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494354248046875 × 2 - 1) × π
    -0.01129150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03547331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.372222900390625 × 2 - 1) × π
    0.25555419921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.8028471948367
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03547331} λ = -0.03547331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.8028471948367))-π/2
    2×atan(2.23188650639454)-π/2
    2×1.14956399205117-π/2
    2.29912798410234-1.57079632675     		φ = 0.72833166
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03547331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.032471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72833166 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.730330°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16199 KachelY 12197 -0.03547331 0.72833166 -2.032471 41.730330
    Oben rechts KachelX + 1 16200 KachelY 12197 -0.03528156 0.72833166 -2.021484 41.730330
    Unten links KachelX 16199 KachelY + 1 12198 -0.03547331 0.72818855 -2.032471 41.722131
    Unten rechts KachelX + 1 16200 KachelY + 1 12198 -0.03528156 0.72818855 -2.021484 41.722131
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72833166-0.72818855) × R
    0.000143110000000002 × 6371000     		dl = 911.753810000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72833166-0.72818855) × R
    0.000143110000000002 × 6371000     		dr = 911.753810000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03547331--0.03528156) × cos(0.72833166) × R
    0.000191750000000004 × 0.746285930072162 × 6371000     		do = 911.69218389893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03547331--0.03528156) × cos(0.72818855) × R
    0.000191750000000004 × 0.746381180095463 × 6371000     		du = 911.808545065957m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72833166)-sin(0.72818855))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.746285930072162-0.746381180095463)×R²
    abs(-0.03528156--0.03547331)×9.52500233007969e-05×R²
    0.000191750000000004×9.52500233007969e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.52500233007969e-05×40589641000000     		ar = 831291.870004237m²