Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16198 / 11450
↖ ↑ ↗
← N 47.561701°
W  2.043457°		 ← 824.31 m → N 47.561701°
W  2.032471°		 →
↑
824.41 m
↓
↑
824.41 m
↓
N 47.554287°
W  2.043457°		 ← 824.43 m →
679 619 m²		 N 47.554287°
W  2.032471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16198 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11450 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494338989257812 y=0.349441528320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494338989257812 × 215)
    floor (0.494338989257812 × 32768)
    floor (16198.5)     		tx = 16198
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.349441528320312 × 215)
    floor (0.349441528320312 × 32768)
    floor (11450.5)     		ty = 11450
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16198 / 11450 ti = "15/16198/11450"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16198/11450.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16198 ÷ 215
    16198 ÷ 32768     		x = 0.49432373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11450 ÷ 215
    11450 ÷ 32768     		y = 0.34942626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49432373046875 × 2 - 1) × π
    -0.0113525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03566505
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34942626953125 × 2 - 1) × π
    0.3011474609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.946082650901428
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03566505} λ = -0.03566505}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.946082650901428))-π/2
    2×atan(2.57560034569586)-π/2
    2×1.20045230139564-π/2
    2.40090460279129-1.57079632675     		φ = 0.83010828
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03566505} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.043457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83010828 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.561701°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16198 KachelY 11450 -0.03566505 0.83010828 -2.043457 47.561701
    Oben rechts KachelX + 1 16199 KachelY 11450 -0.03547331 0.83010828 -2.032471 47.561701
    Unten links KachelX 16198 KachelY + 1 11451 -0.03566505 0.82997888 -2.043457 47.554287
    Unten rechts KachelX + 1 16199 KachelY + 1 11451 -0.03547331 0.82997888 -2.032471 47.554287
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83010828-0.82997888) × R
    0.000129400000000057 × 6371000     		dl = 824.407400000365m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83010828-0.82997888) × R
    0.000129400000000057 × 6371000     		dr = 824.407400000365m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03566505--0.03547331) × cos(0.83010828) × R
    0.000191739999999996 × 0.674795852906249 × 6371000     		do = 824.314108403694m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03566505--0.03547331) × cos(0.82997888) × R
    0.000191739999999996 × 0.674891345031308 × 6371000     		du = 824.430759247928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83010828)-sin(0.82997888))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.674795852906249-0.674891345031308)×R²
    abs(-0.03547331--0.03566505)×9.54921250587715e-05×R²
    0.000191739999999996×9.54921250587715e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.54921250587715e-05×40589641000000     		ar = 679618.735750076m²