Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16196 / 12213
↖ ↑ ↗
← N 41.599013°
W  2.065430°		 ← 913.55 m → N 41.599013°
W  2.054443°		 →
↑
913.60 m
↓
↑
913.60 m
↓
N 41.590797°
W  2.065430°		 ← 913.67 m →
834 677 m²		 N 41.590797°
W  2.054443°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16196 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12213 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494277954101562 y=0.372726440429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494277954101562 × 215)
    floor (0.494277954101562 × 32768)
    floor (16196.5)     		tx = 16196
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.372726440429688 × 215)
    floor (0.372726440429688 × 32768)
    floor (12213.5)     		ty = 12213
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16196 / 12213 ti = "15/16196/12213"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16196/12213.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16196 ÷ 215
    16196 ÷ 32768     		x = 0.4942626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12213 ÷ 215
    12213 ÷ 32768     		y = 0.372711181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4942626953125 × 2 - 1) × π
    -0.011474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.03604855
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.372711181640625 × 2 - 1) × π
    0.25457763671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.799779233261017
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03604855} λ = -0.03604855}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.799779233261017))-π/2
    2×atan(2.22504965730937)-π/2
    2×1.14841803508235-π/2
    2.29683607016469-1.57079632675     		φ = 0.72603974
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03604855} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.065430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72603974 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.599013°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16196 KachelY 12213 -0.03604855 0.72603974 -2.065430 41.599013
    Oben rechts KachelX + 1 16197 KachelY 12213 -0.03585680 0.72603974 -2.054443 41.599013
    Unten links KachelX 16196 KachelY + 1 12214 -0.03604855 0.72589634 -2.065430 41.590797
    Unten rechts KachelX + 1 16197 KachelY + 1 12214 -0.03585680 0.72589634 -2.054443 41.590797
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72603974-0.72589634) × R
    0.000143400000000016 × 6371000     		dl = 913.6014000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72603974-0.72589634) × R
    0.000143400000000016 × 6371000     		dr = 913.6014000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03604855--0.03585680) × cos(0.72603974) × R
    0.000191749999999997 × 0.747809529059158 × 6371000     		do = 913.553472222671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03604855--0.03585680) × cos(0.72589634) × R
    0.000191749999999997 × 0.747904726541378 × 6371000     		du = 913.669769203452m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72603974)-sin(0.72589634))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.747809529059158-0.747904726541378)×R²
    abs(-0.03585680--0.03604855)×9.51974822203105e-05×R²
    0.000191749999999997×9.51974822203105e-05×6371000²
    0.000191749999999997×9.51974822203105e-05×40589641000000     		ar = 834676.857170022m²