Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16194 / 11462
↖ ↑ ↗
← N 47.472663°
W  2.087402°		 ← 825.71 m → N 47.472663°
W  2.076416°		 →
↑
825.81 m
↓
↑
825.81 m
↓
N 47.465236°
W  2.087402°		 ← 825.83 m →
681 930 m²		 N 47.465236°
W  2.076416°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16194 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11462 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494216918945312 y=0.349807739257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494216918945312 × 215)
    floor (0.494216918945312 × 32768)
    floor (16194.5)     		tx = 16194
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.349807739257812 × 215)
    floor (0.349807739257812 × 32768)
    floor (11462.5)     		ty = 11462
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16194 / 11462 ti = "15/16194/11462"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16194/11462.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16194 ÷ 215
    16194 ÷ 32768     		x = 0.49420166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11462 ÷ 215
    11462 ÷ 32768     		y = 0.34979248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49420166015625 × 2 - 1) × π
    -0.0115966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03643204
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34979248046875 × 2 - 1) × π
    0.3004150390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.943781679719666
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03643204} λ = -0.03643204}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.943781679719666))-π/2
    2×atan(2.56968077651547)-π/2
    2×1.19967529926161-π/2
    2.39935059852322-1.57079632675     		φ = 0.82855427
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03643204} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.087402°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82855427 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.472663°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16194 KachelY 11462 -0.03643204 0.82855427 -2.087402 47.472663
    Oben rechts KachelX + 1 16195 KachelY 11462 -0.03624030 0.82855427 -2.076416 47.472663
    Unten links KachelX 16194 KachelY + 1 11463 -0.03643204 0.82842465 -2.087402 47.465236
    Unten rechts KachelX + 1 16195 KachelY + 1 11463 -0.03624030 0.82842465 -2.076416 47.465236
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82855427-0.82842465) × R
    0.000129620000000052 × 6371000     		dl = 825.809020000334m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82855427-0.82842465) × R
    0.000129620000000052 × 6371000     		dr = 825.809020000334m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03643204--0.03624030) × cos(0.82855427) × R
    0.000191739999999996 × 0.675941903930099 × 6371000     		do = 825.714096302021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03643204--0.03624030) × cos(0.82842465) × R
    0.000191739999999996 × 0.676037422347176 × 6371000     		du = 825.830779263941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82855427)-sin(0.82842465))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.675941903930099-0.676037422347176)×R²
    abs(-0.03624030--0.03643204)×9.55184170764456e-05×R²
    0.000191739999999996×9.55184170764456e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.55184170764456e-05×40589641000000     		ar = 681930.328543063m²