Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16192 / 12223
↖ ↑ ↗
← N 41.516804°
W  2.109375°		 ← 914.72 m → N 41.516804°
W  2.098389°		 →
↑
914.75 m
↓
↑
914.75 m
↓
N 41.508577°
W  2.109375°		 ← 914.83 m →
836 788 m²		 N 41.508577°
W  2.098389°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12223 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494155883789062 y=0.373031616210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494155883789062 × 215)
    floor (0.494155883789062 × 32768)
    floor (16192.5)     		tx = 16192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.373031616210938 × 215)
    floor (0.373031616210938 × 32768)
    floor (12223.5)     		ty = 12223
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16192 / 12223 ti = "15/16192/12223"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16192/12223.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16192 ÷ 215
    16192 ÷ 32768     		x = 0.494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12223 ÷ 215
    12223 ÷ 32768     		y = 0.373016357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494140625 × 2 - 1) × π
    -0.01171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03681554
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.373016357421875 × 2 - 1) × π
    0.25396728515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.797861757276215
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03681554} λ = -0.03681554}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.797861757276215))-π/2
    2×atan(2.22078726584909)-π/2
    2×1.14770062537585-π/2
    2.2954012507517-1.57079632675     		φ = 0.72460492
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03681554} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.109375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72460492 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.516804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16192 KachelY 12223 -0.03681554 0.72460492 -2.109375 41.516804
    Oben rechts KachelX + 1 16193 KachelY 12223 -0.03662379 0.72460492 -2.098389 41.516804
    Unten links KachelX 16192 KachelY + 1 12224 -0.03681554 0.72446134 -2.109375 41.508577
    Unten rechts KachelX + 1 16193 KachelY + 1 12224 -0.03662379 0.72446134 -2.098389 41.508577
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72460492-0.72446134) × R
    0.000143580000000032 × 6371000     		dl = 914.748180000204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72460492-0.72446134) × R
    0.000143580000000032 × 6371000     		dr = 914.748180000204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03681554--0.03662379) × cos(0.72460492) × R
    0.000191749999999997 × 0.748761355094071 × 6371000     		do = 914.716260266093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03681554--0.03662379) × cos(0.72446134) × R
    0.000191749999999997 × 0.748856517896165 × 6371000     		du = 914.832514880271m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72460492)-sin(0.72446134))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.748761355094071-0.748856517896165)×R²
    abs(-0.03662379--0.03681554)×9.51628020936512e-05×R²
    0.000191749999999997×9.51628020936512e-05×6371000²
    0.000191749999999997×9.51628020936512e-05×40589641000000     		ar = 836788.207580958m²