Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16190 / 11454
↖ ↑ ↗
← N 47.532038°
W  2.131347°		 ← 824.78 m → N 47.532038°
W  2.120362°		 →
↑
824.92 m
↓
↑
824.92 m
↓
N 47.524620°
W  2.131347°		 ← 824.90 m →
680 424 m²		 N 47.524620°
W  2.120362°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16190 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11454 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494094848632812 y=0.349563598632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494094848632812 × 215)
    floor (0.494094848632812 × 32768)
    floor (16190.5)     		tx = 16190
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.349563598632812 × 215)
    floor (0.349563598632812 × 32768)
    floor (11454.5)     		ty = 11454
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16190 / 11454 ti = "15/16190/11454"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16190/11454.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16190 ÷ 215
    16190 ÷ 32768     		x = 0.49407958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11454 ÷ 215
    11454 ÷ 32768     		y = 0.34954833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49407958984375 × 2 - 1) × π
    -0.0118408203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.03719903
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34954833984375 × 2 - 1) × π
    0.3009033203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.945315660507507
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03719903} λ = -0.03719903}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.945315660507507))-π/2
    2×atan(2.57362564235819)-π/2
    2×1.20019344718324-π/2
    2.40038689436649-1.57079632675     		φ = 0.82959057
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03719903} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.131347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82959057 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.532038°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16190 KachelY 11454 -0.03719903 0.82959057 -2.131347 47.532038
    Oben rechts KachelX + 1 16191 KachelY 11454 -0.03700729 0.82959057 -2.120362 47.532038
    Unten links KachelX 16190 KachelY + 1 11455 -0.03719903 0.82946109 -2.131347 47.524620
    Unten rechts KachelX + 1 16191 KachelY + 1 11455 -0.03700729 0.82946109 -2.120362 47.524620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82959057-0.82946109) × R
    0.000129480000000015 × 6371000     		dl = 824.917080000096m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82959057-0.82946109) × R
    0.000129480000000015 × 6371000     		dr = 824.917080000096m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03719903--0.03700729) × cos(0.82959057) × R
    0.000191740000000003 × 0.675177834738401 × 6371000     		do = 824.780728066605m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03719903--0.03700729) × cos(0.82946109) × R
    0.000191740000000003 × 0.67527334064717 × 6371000     		du = 824.897395748683m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82959057)-sin(0.82946109))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.675177834738401-0.67527334064717)×R²
    abs(-0.03700729--0.03719903)×9.55059087688337e-05×R²
    0.000191740000000003×9.55059087688337e-05×6371000²
    0.000191740000000003×9.55059087688337e-05×40589641000000     		ar = 680423.831369266m²