Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16180 / 11989
↖ ↑ ↗
← N 43.413029°
W  2.241211°		 ← 887.42 m → N 43.413029°
W  2.230224°		 →
↑
887.48 m
↓
↑
887.48 m
↓
N 43.405047°
W  2.241211°		 ← 887.54 m →
787 621 m²		 N 43.405047°
W  2.230224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11989 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493789672851562 y=0.365890502929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493789672851562 × 215)
    floor (0.493789672851562 × 32768)
    floor (16180.5)     		tx = 16180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365890502929688 × 215)
    floor (0.365890502929688 × 32768)
    floor (11989.5)     		ty = 11989
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16180 / 11989 ti = "15/16180/11989"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16180/11989.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16180 ÷ 215
    16180 ÷ 32768     		x = 0.4937744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11989 ÷ 215
    11989 ÷ 32768     		y = 0.365875244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4937744140625 × 2 - 1) × π
    -0.012451171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03911651
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.365875244140625 × 2 - 1) × π
    0.26824951171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.842730695320587
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03911651} λ = -0.03911651}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.842730695320587))-π/2
    2×atan(2.32270091333495)-π/2
    2×1.16424830779453-π/2
    2.32849661558906-1.57079632675     		φ = 0.75770029
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03911651} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.241211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75770029 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.413029°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16180 KachelY 11989 -0.03911651 0.75770029 -2.241211 43.413029
    Oben rechts KachelX + 1 16181 KachelY 11989 -0.03892476 0.75770029 -2.230224 43.413029
    Unten links KachelX 16180 KachelY + 1 11990 -0.03911651 0.75756099 -2.241211 43.405047
    Unten rechts KachelX + 1 16181 KachelY + 1 11990 -0.03892476 0.75756099 -2.230224 43.405047
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75770029-0.75756099) × R
    0.000139300000000064 × 6371000     		dl = 887.48030000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75770029-0.75756099) × R
    0.000139300000000064 × 6371000     		dr = 887.48030000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03911651--0.03892476) × cos(0.75770029) × R
    0.000191749999999997 × 0.726418412173983 × 6371000     		do = 887.421244234403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03911651--0.03892476) × cos(0.75756099) × R
    0.000191749999999997 × 0.726514139428596 × 6371000     		du = 887.538188405934m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75770029)-sin(0.75756099))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.726418412173983-0.726514139428596)×R²
    abs(-0.03892476--0.03911651)×9.57272546133758e-05×R²
    0.000191749999999997×9.57272546133758e-05×6371000²
    0.000191749999999997×9.57272546133758e-05×40589641000000     		ar = 787620.766157185m²