Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16178 / 11986
↖ ↑ ↗
← N 43.436966°
W  2.263184°		 ← 887.07 m → N 43.436966°
W  2.252197°		 →
↑
887.10 m
↓
↑
887.10 m
↓
N 43.428988°
W  2.263184°		 ← 887.19 m →
786 970 m²		 N 43.428988°
W  2.252197°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16178 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11986 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493728637695312 y=0.365798950195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493728637695312 × 215)
    floor (0.493728637695312 × 32768)
    floor (16178.5)     		tx = 16178
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365798950195312 × 215)
    floor (0.365798950195312 × 32768)
    floor (11986.5)     		ty = 11986
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16178 / 11986 ti = "15/16178/11986"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16178/11986.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16178 ÷ 215
    16178 ÷ 32768     		x = 0.49371337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11986 ÷ 215
    11986 ÷ 32768     		y = 0.36578369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49371337890625 × 2 - 1) × π
    -0.0125732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03950001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36578369140625 × 2 - 1) × π
    0.2684326171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.843305938116028
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03950001} λ = -0.03950001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.843305938116028))-π/2
    2×atan(2.32403741467084)-π/2
    2×1.16445719997358-π/2
    2.32891439994717-1.57079632675     		φ = 0.75811807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03950001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.263184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75811807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.436966°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16178 KachelY 11986 -0.03950001 0.75811807 -2.263184 43.436966
    Oben rechts KachelX + 1 16179 KachelY 11986 -0.03930826 0.75811807 -2.252197 43.436966
    Unten links KachelX 16178 KachelY + 1 11987 -0.03950001 0.75797883 -2.263184 43.428988
    Unten rechts KachelX + 1 16179 KachelY + 1 11987 -0.03930826 0.75797883 -2.252197 43.428988
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75811807-0.75797883) × R
    0.000139239999999985 × 6371000     		dl = 887.098039999904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75811807-0.75797883) × R
    0.000139239999999985 × 6371000     		dr = 887.098039999904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03950001--0.03930826) × cos(0.75811807) × R
    0.000191750000000004 × 0.726131228349643 × 6371000     		do = 887.070409202657m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03950001--0.03930826) × cos(0.75797883) × R
    0.000191750000000004 × 0.72622695662658 × 6371000     		du = 887.187354623098m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75811807)-sin(0.75797883))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.726131228349643-0.72622695662658)×R²
    abs(-0.03930826--0.03950001)×9.5728276937157e-05×R²
    0.000191750000000004×9.5728276937157e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.5728276937157e-05×40589641000000     		ar = 786970.293643275m²