Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16175 / 11921
↖ ↑ ↗
← N 43.953282°
W  2.296143°		 ← 879.47 m → N 43.953282°
W  2.285156°		 →
↑
879.52 m
↓
↑
879.52 m
↓
N 43.945372°
W  2.296143°		 ← 879.58 m →
773 556 m²		 N 43.945372°
W  2.285156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16175 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11921 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493637084960938 y=0.363815307617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493637084960938 × 215)
    floor (0.493637084960938 × 32768)
    floor (16175.5)     		tx = 16175
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.363815307617188 × 215)
    floor (0.363815307617188 × 32768)
    floor (11921.5)     		ty = 11921
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16175 / 11921 ti = "15/16175/11921"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16175/11921.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16175 ÷ 215
    16175 ÷ 32768     		x = 0.493621826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11921 ÷ 215
    11921 ÷ 32768     		y = 0.363800048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493621826171875 × 2 - 1) × π
    -0.01275634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.04007525
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.363800048828125 × 2 - 1) × π
    0.27239990234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.855769532017242
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04007525} λ = -0.04007525}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.855769532017242))-π/2
    2×atan(2.35318453484178)-π/2
    2×1.16896290773377-π/2
    2.33792581546754-1.57079632675     		φ = 0.76712949
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04007525} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.296143°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76712949 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.953282°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16175 KachelY 11921 -0.04007525 0.76712949 -2.296143 43.953282
    Oben rechts KachelX + 1 16176 KachelY 11921 -0.03988350 0.76712949 -2.285156 43.953282
    Unten links KachelX 16175 KachelY + 1 11922 -0.04007525 0.76699144 -2.296143 43.945372
    Unten rechts KachelX + 1 16176 KachelY + 1 11922 -0.03988350 0.76699144 -2.285156 43.945372
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76712949-0.76699144) × R
    0.000138050000000001 × 6371000     		dl = 879.516550000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76712949-0.76699144) × R
    0.000138050000000001 × 6371000     		dr = 879.516550000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04007525--0.03988350) × cos(0.76712949) × R
    0.000191749999999997 × 0.719905972302487 × 6371000     		do = 879.46539207412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04007525--0.03988350) × cos(0.76699144) × R
    0.000191749999999997 × 0.720001782027159 × 6371000     		du = 879.58243699431m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76712949)-sin(0.76699144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.719905972302487-0.720001782027159)×R²
    abs(-0.03988350--0.04007525)×9.58097246716028e-05×R²
    0.000191749999999997×9.58097246716028e-05×6371000²
    0.000191749999999997×9.58097246716028e-05×40589641000000     		ar = 773555.840182229m²