Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16169 / 11271
↖ ↑ ↗
← N 48.871941°
W  2.362060°		 ← 803.48 m → N 48.871941°
W  2.351074°		 →
↑
803.57 m
↓
↑
803.57 m
↓
N 48.864715°
W  2.362060°		 ← 803.60 m →
645 706 m²		 N 48.864715°
W  2.351074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16169 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11271 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493453979492188 y=0.343978881835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493453979492188 × 215)
    floor (0.493453979492188 × 32768)
    floor (16169.5)     		tx = 16169
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343978881835938 × 215)
    floor (0.343978881835938 × 32768)
    floor (11271.5)     		ty = 11271
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16169 / 11271 ti = "15/16169/11271"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16169/11271.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16169 ÷ 215
    16169 ÷ 32768     		x = 0.493438720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11271 ÷ 215
    11271 ÷ 32768     		y = 0.343963623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493438720703125 × 2 - 1) × π
    -0.01312255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.04122573
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343963623046875 × 2 - 1) × π
    0.31207275390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.980405471029388
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04122573} λ = -0.04122573}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.980405471029388))-π/2
    2×atan(2.6655368208015)-π/2
    2×1.21188630869805-π/2
    2.42377261739609-1.57079632675     		φ = 0.85297629
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04122573} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.362060°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85297629 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.871941°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16169 KachelY 11271 -0.04122573 0.85297629 -2.362060 48.871941
    Oben rechts KachelX + 1 16170 KachelY 11271 -0.04103399 0.85297629 -2.351074 48.871941
    Unten links KachelX 16169 KachelY + 1 11272 -0.04122573 0.85285016 -2.362060 48.864715
    Unten rechts KachelX + 1 16170 KachelY + 1 11272 -0.04103399 0.85285016 -2.351074 48.864715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85297629-0.85285016) × R
    0.000126129999999947 × 6371000     		dl = 803.57422999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85297629-0.85285016) × R
    0.000126129999999947 × 6371000     		dr = 803.57422999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04122573--0.04103399) × cos(0.85297629) × R
    0.000191740000000003 × 0.657744197666295 × 6371000     		do = 803.484223446082m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04122573--0.04103399) × cos(0.85285016) × R
    0.000191740000000003 × 0.657839198768838 × 6371000     		du = 803.600274469222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85297629)-sin(0.85285016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657744197666295-0.657839198768838)×R²
    abs(-0.04103399--0.04122573)×9.50011025432351e-05×R²
    0.000191740000000003×9.50011025432351e-05×6371000²
    0.000191740000000003×9.50011025432351e-05×40589641000000     		ar = 645705.844833863m²