Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16165 / 11289
↖ ↑ ↗
← N 48.741701°
W  2.406006°		 ← 805.57 m → N 48.741701°
W  2.395020°		 →
↑
805.61 m
↓
↑
805.61 m
↓
N 48.734456°
W  2.406006°		 ← 805.69 m →
649 027 m²		 N 48.734456°
W  2.395020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16165 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11289 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493331909179688 y=0.344528198242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493331909179688 × 215)
    floor (0.493331909179688 × 32768)
    floor (16165.5)     		tx = 16165
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344528198242188 × 215)
    floor (0.344528198242188 × 32768)
    floor (11289.5)     		ty = 11289
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16165 / 11289 ti = "15/16165/11289"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16165/11289.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16165 ÷ 215
    16165 ÷ 32768     		x = 0.493316650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11289 ÷ 215
    11289 ÷ 32768     		y = 0.344512939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493316650390625 × 2 - 1) × π
    -0.01336669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.04199272
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344512939453125 × 2 - 1) × π
    0.31097412109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.976954014256744
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04199272} λ = -0.04199272}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.976954014256744))-π/2
    2×atan(2.65635269411394)-π/2
    2×1.2107497450753-π/2
    2.42149949015061-1.57079632675     		φ = 0.85070316
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04199272} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.406006°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85070316 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.741701°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16165 KachelY 11289 -0.04199272 0.85070316 -2.406006 48.741701
    Oben rechts KachelX + 1 16166 KachelY 11289 -0.04180098 0.85070316 -2.395020 48.741701
    Unten links KachelX 16165 KachelY + 1 11290 -0.04199272 0.85057671 -2.406006 48.734456
    Unten rechts KachelX + 1 16166 KachelY + 1 11290 -0.04180098 0.85057671 -2.395020 48.734456
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85070316-0.85057671) × R
    0.00012645 × 6371000     		dl = 805.612950000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85070316-0.85057671) × R
    0.00012645 × 6371000     		dr = 805.612950000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04199272--0.04180098) × cos(0.85070316) × R
    0.000191739999999996 × 0.659454712439794 × 6371000     		do = 805.573746454169m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04199272--0.04180098) × cos(0.85057671) × R
    0.000191739999999996 × 0.659549765233197 × 6371000     		du = 805.689860621598m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85070316)-sin(0.85057671))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.659454712439794-0.659549765233197)×R²
    abs(-0.04180098--0.04199272)×9.50527934026058e-05×R²
    0.000191739999999996×9.50527934026058e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.50527934026058e-05×40589641000000     		ar = 649027.414726864m²