Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16148 / 11955
↖ ↑ ↗
← N 43.683763°
W  2.592773°		 ← 883.40 m → N 43.683763°
W  2.581787°		 →
↑
883.47 m
↓
↑
883.47 m
↓
N 43.675818°
W  2.592773°		 ← 883.52 m →
780 504 m²		 N 43.675818°
W  2.581787°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16148 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11955 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492813110351562 y=0.364852905273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492813110351562 × 215)
    floor (0.492813110351562 × 32768)
    floor (16148.5)     		tx = 16148
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364852905273438 × 215)
    floor (0.364852905273438 × 32768)
    floor (11955.5)     		ty = 11955
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16148 / 11955 ti = "15/16148/11955"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16148/11955.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16148 ÷ 215
    16148 ÷ 32768     		x = 0.4927978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11955 ÷ 215
    11955 ÷ 32768     		y = 0.364837646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4927978515625 × 2 - 1) × π
    -0.014404296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.04525243
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.364837646484375 × 2 - 1) × π
    0.27032470703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.849250113668915
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04525243} λ = -0.04525243}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.849250113668915))-π/2
    2×atan(2.337893040394)-π/2
    2×1.16661091496926-π/2
    2.33322182993851-1.57079632675     		φ = 0.76242550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04525243} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.592773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76242550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.683763°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16148 KachelY 11955 -0.04525243 0.76242550 -2.592773 43.683763
    Oben rechts KachelX + 1 16149 KachelY 11955 -0.04506069 0.76242550 -2.581787 43.683763
    Unten links KachelX 16148 KachelY + 1 11956 -0.04525243 0.76228683 -2.592773 43.675818
    Unten rechts KachelX + 1 16149 KachelY + 1 11956 -0.04506069 0.76228683 -2.581787 43.675818
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76242550-0.76228683) × R
    0.000138670000000007 × 6371000     		dl = 883.466570000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76242550-0.76228683) × R
    0.000138670000000007 × 6371000     		dr = 883.466570000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04525243--0.04506069) × cos(0.76242550) × R
    0.000191740000000003 × 0.723162901291906 × 6371000     		do = 883.398111653639m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04525243--0.04506069) × cos(0.76228683) × R
    0.000191740000000003 × 0.723258670588463 × 6371000     		du = 883.515101083797m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76242550)-sin(0.76228683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.723162901291906-0.723258670588463)×R²
    abs(-0.04506069--0.04525243)×9.57692965574131e-05×R²
    0.000191740000000003×9.57692965574131e-05×6371000²
    0.000191740000000003×9.57692965574131e-05×40589641000000     		ar = 780504.379023205m²