Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16145 / 11954
↖ ↑ ↗
← N 43.691708°
W  2.625733°		 ← 883.33 m → N 43.691708°
W  2.614746°		 →
↑
883.40 m
↓
↑
883.40 m
↓
N 43.683763°
W  2.625733°		 ← 883.44 m →
780 385 m²		 N 43.683763°
W  2.614746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11954 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492721557617188 y=0.364822387695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492721557617188 × 215)
    floor (0.492721557617188 × 32768)
    floor (16145.5)     		tx = 16145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364822387695312 × 215)
    floor (0.364822387695312 × 32768)
    floor (11954.5)     		ty = 11954
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16145 / 11954 ti = "15/16145/11954"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16145/11954.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16145 ÷ 215
    16145 ÷ 32768     		x = 0.492706298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11954 ÷ 215
    11954 ÷ 32768     		y = 0.36480712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492706298828125 × 2 - 1) × π
    -0.01458740234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.04582768
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36480712890625 × 2 - 1) × π
    0.2703857421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.849441861267395
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04582768} λ = -0.04582768}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.849441861267395))-π/2
    2×atan(2.33834136875157)-π/2
    2×1.1666802427528-π/2
    2.33336048550561-1.57079632675     		φ = 0.76256416
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04582768} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.625733°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76256416 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.691708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16145 KachelY 11954 -0.04582768 0.76256416 -2.625733 43.691708
    Oben rechts KachelX + 1 16146 KachelY 11954 -0.04563593 0.76256416 -2.614746 43.691708
    Unten links KachelX 16145 KachelY + 1 11955 -0.04582768 0.76242550 -2.625733 43.683763
    Unten rechts KachelX + 1 16146 KachelY + 1 11955 -0.04563593 0.76242550 -2.614746 43.683763
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76256416-0.76242550) × R
    0.000138660000000068 × 6371000     		dl = 883.402860000434m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76256416-0.76242550) × R
    0.000138660000000068 × 6371000     		dr = 883.402860000434m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04582768--0.04563593) × cos(0.76256416) × R
    0.000191750000000004 × 0.72306712499716 × 6371000     		do = 883.327180281207m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04582768--0.04563593) × cos(0.76242550) × R
    0.000191750000000004 × 0.723162901291906 × 6371000     		du = 883.444184362089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76256416)-sin(0.76242550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72306712499716-0.723162901291906)×R²
    abs(-0.04563593--0.04582768)×9.57762947457752e-05×R²
    0.000191750000000004×9.57762947457752e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.57762947457752e-05×40589641000000     		ar = 780385.439496156m²