Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16136 / 11314
↖ ↑ ↗
← N 48.560250°
W  2.724609°		 ← 808.48 m → N 48.560250°
W  2.713623°		 →
↑
808.54 m
↓
↑
808.54 m
↓
N 48.552978°
W  2.724609°		 ← 808.59 m →
653 737 m²		 N 48.552978°
W  2.713623°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11314 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492446899414062 y=0.345291137695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492446899414062 × 215)
    floor (0.492446899414062 × 32768)
    floor (16136.5)     		tx = 16136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345291137695312 × 215)
    floor (0.345291137695312 × 32768)
    floor (11314.5)     		ty = 11314
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16136 / 11314 ti = "15/16136/11314"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16136/11314.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16136 ÷ 215
    16136 ÷ 32768     		x = 0.492431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11314 ÷ 215
    11314 ÷ 32768     		y = 0.34527587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492431640625 × 2 - 1) × π
    -0.01513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.04755340
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34527587890625 × 2 - 1) × π
    0.3094482421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.972160324294739
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04755340} λ = -0.04755340}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.972160324294739))-π/2
    2×atan(2.64364943493778)-π/2
    2×1.20916628561666-π/2
    2.41833257123332-1.57079632675     		φ = 0.84753624
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04755340} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.724609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84753624 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.560250°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16136 KachelY 11314 -0.04755340 0.84753624 -2.724609 48.560250
    Oben rechts KachelX + 1 16137 KachelY 11314 -0.04736166 0.84753624 -2.713623 48.560250
    Unten links KachelX 16136 KachelY + 1 11315 -0.04755340 0.84740933 -2.724609 48.552978
    Unten rechts KachelX + 1 16137 KachelY + 1 11315 -0.04736166 0.84740933 -2.713623 48.552978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84753624-0.84740933) × R
    0.000126910000000091 × 6371000     		dl = 808.543610000581m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84753624-0.84740933) × R
    0.000126910000000091 × 6371000     		dr = 808.543610000581m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04755340--0.04736166) × cos(0.84753624) × R
    0.000191740000000003 × 0.661832115538112 × 6371000     		do = 808.477923927823m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04755340--0.04736166) × cos(0.84740933) × R
    0.000191740000000003 × 0.661927248554375 × 6371000     		du = 808.594136093537m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84753624)-sin(0.84740933))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661832115538112-0.661927248554375)×R²
    abs(-0.04736166--0.04755340)×9.51330162634045e-05×R²
    0.000191740000000003×9.51330162634045e-05×6371000²
    0.000191740000000003×9.51330162634045e-05×40589641000000     		ar = 653736.641398205m²