Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16132 / 16646
↖ ↑ ↗
← S  2.877208°
W  2.768554°		 ← 1 220.04 m → S  2.877208°
W  2.757569°		 →
↑
1 220.11 m
↓
↑
1 220.11 m
↓
S  2.888181°
W  2.768554°		 ← 1 220.02 m →
1 488 571 m²		 S  2.888181°
W  2.757569°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16132 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16646 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492324829101562 y=0.508010864257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492324829101562 × 215)
    floor (0.492324829101562 × 32768)
    floor (16132.5)     		tx = 16132
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.508010864257812 × 215)
    floor (0.508010864257812 × 32768)
    floor (16646.5)     		ty = 16646
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16132 / 16646 ti = "15/16132/16646"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16132/16646.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16132 ÷ 215
    16132 ÷ 32768     		x = 0.4923095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16646 ÷ 215
    16646 ÷ 32768     		y = 0.50799560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4923095703125 × 2 - 1) × π
    -0.015380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.04832039
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50799560546875 × 2 - 1) × π
    -0.0159912109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0502378708018189
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04832039} λ = -0.04832039}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0502378708018189))-π/2
    2×atan(0.951003181704139)-π/2
    2×0.760289787378982-π/2
    1.52057957475796-1.57079632675     		φ = -0.05021675
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04832039} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.768554°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05021675 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.877208°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16132 KachelY 16646 -0.04832039 -0.05021675 -2.768554 -2.877208
    Oben rechts KachelX + 1 16133 KachelY 16646 -0.04812865 -0.05021675 -2.757569 -2.877208
    Unten links KachelX 16132 KachelY + 1 16647 -0.04832039 -0.05040826 -2.768554 -2.888181
    Unten rechts KachelX + 1 16133 KachelY + 1 16647 -0.04812865 -0.05040826 -2.757569 -2.888181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05021675--0.05040826) × R
    0.000191510000000006 × 6371000     		dl = 1220.11021000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05021675--0.05040826) × R
    0.000191510000000006 × 6371000     		dr = 1220.11021000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04832039--0.04812865) × cos(-0.05021675) × R
    0.000191739999999996 × 0.998739403949187 × 6371000     		do = 1220.03562669848m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04832039--0.04812865) × cos(-0.05040826) × R
    0.000191739999999996 × 0.998729772665925 × 6371000     		du = 1220.02386135843m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05021675)-sin(-0.05040826))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998739403949187-0.998729772665925)×R²
    abs(-0.04812865--0.04832039)×9.63128326236795e-06×R²
    0.000191739999999996×9.63128326236795e-06×6371000²
    0.000191739999999996×9.63128326236795e-06×40589641000000     		ar = 1488570.75174244m²