Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16131 / 17137
↖ ↑ ↗
← S  8.244110°
W  2.779541°		 ← 1 209.01 m → S  8.244110°
W  2.768554°		 →
↑
1 209.02 m
↓
↑
1 209.02 m
↓
S  8.254983°
W  2.779541°		 ← 1 208.98 m →
1 461 709 m²		 S  8.254983°
W  2.768554°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17137 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492294311523438 y=0.522994995117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492294311523438 × 215)
    floor (0.492294311523438 × 32768)
    floor (16131.5)     		tx = 16131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522994995117188 × 215)
    floor (0.522994995117188 × 32768)
    floor (17137.5)     		ty = 17137
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16131 / 17137 ti = "15/16131/17137"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16131/17137.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16131 ÷ 215
    16131 ÷ 32768     		x = 0.492279052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17137 ÷ 215
    17137 ÷ 32768     		y = 0.522979736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492279052734375 × 2 - 1) × π
    -0.01544189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.04851214
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.522979736328125 × 2 - 1) × π
    -0.04595947265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.144385941655609
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04851214} λ = -0.04851214}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.144385941655609))-π/2
    2×atan(0.865553630387258)-π/2
    2×0.713454731198984-π/2
    1.42690946239797-1.57079632675     		φ = -0.14388686
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04851214} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.779541°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14388686 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.244110°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16131 KachelY 17137 -0.04851214 -0.14388686 -2.779541 -8.244110
    Oben rechts KachelX + 1 16132 KachelY 17137 -0.04832039 -0.14388686 -2.768554 -8.244110
    Unten links KachelX 16131 KachelY + 1 17138 -0.04851214 -0.14407663 -2.779541 -8.254983
    Unten rechts KachelX + 1 16132 KachelY + 1 17138 -0.04832039 -0.14407663 -2.768554 -8.254983
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14388686--0.14407663) × R
    0.000189770000000006 × 6371000     		dl = 1209.02467000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14388686--0.14407663) × R
    0.000189770000000006 × 6371000     		dr = 1209.02467000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04851214--0.04832039) × cos(-0.14388686) × R
    0.000191750000000004 × 0.989666133103635 × 6371000     		do = 1209.01499259515m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04851214--0.04832039) × cos(-0.14407663) × R
    0.000191750000000004 × 0.989638903995905 × 6371000     		du = 1208.98172844841m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14388686)-sin(-0.14407663))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989666133103635-0.989638903995905)×R²
    abs(-0.04832039--0.04851214)×2.72291077301201e-05×R²
    0.000191750000000004×2.72291077301201e-05×6371000²
    0.000191750000000004×2.72291077301201e-05×40589641000000     		ar = 1461708.84824706m²