Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16117 / 11299
↖ ↑ ↗
← N 48.669199°
W  2.933350°		 ← 806.78 m → N 48.669199°
W  2.922363°		 →
↑
806.82 m
↓
↑
806.82 m
↓
N 48.661943°
W  2.933350°		 ← 806.89 m →
650 974 m²		 N 48.661943°
W  2.922363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16117 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11299 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.491867065429688 y=0.344833374023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.491867065429688 × 215)
    floor (0.491867065429688 × 32768)
    floor (16117.5)     		tx = 16117
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344833374023438 × 215)
    floor (0.344833374023438 × 32768)
    floor (11299.5)     		ty = 11299
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16117 / 11299 ti = "15/16117/11299"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16117/11299.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16117 ÷ 215
    16117 ÷ 32768     		x = 0.491851806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11299 ÷ 215
    11299 ÷ 32768     		y = 0.344818115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.491851806640625 × 2 - 1) × π
    -0.01629638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.05119661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344818115234375 × 2 - 1) × π
    0.31036376953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.975036538271942
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05119661} λ = -0.05119661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.975036538271942))-π/2
    2×atan(2.65126408182086)-π/2
    2×1.21011704506563-π/2
    2.42023409013125-1.57079632675     		φ = 0.84943776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05119661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.933350°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84943776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.669199°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16117 KachelY 11299 -0.05119661 0.84943776 -2.933350 48.669199
    Oben rechts KachelX + 1 16118 KachelY 11299 -0.05100486 0.84943776 -2.922363 48.669199
    Unten links KachelX 16117 KachelY + 1 11300 -0.05119661 0.84931112 -2.933350 48.661943
    Unten rechts KachelX + 1 16118 KachelY + 1 11300 -0.05100486 0.84931112 -2.922363 48.661943
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84943776-0.84931112) × R
    0.000126640000000067 × 6371000     		dl = 806.823440000425m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84943776-0.84931112) × R
    0.000126640000000067 × 6371000     		dr = 806.823440000425m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05119661--0.05100486) × cos(0.84943776) × R
    0.000191749999999997 × 0.660405441442821 × 6371000     		do = 806.777208180116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05119661--0.05100486) × cos(0.84931112) × R
    0.000191749999999997 × 0.660500531290181 × 6371000     		du = 806.893373669927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84943776)-sin(0.84931112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.660405441442821-0.660500531290181)×R²
    abs(-0.05100486--0.05119661)×9.50898473601747e-05×R²
    0.000191749999999997×9.50898473601747e-05×6371000²
    0.000191749999999997×9.50898473601747e-05×40589641000000     		ar = 650973.625808199m²