Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16114 / 11321
↖ ↑ ↗
← N 48.509326°
W  2.966309°		 ← 809.33 m → N 48.509326°
W  2.955322°		 →
↑
809.37 m
↓
↑
809.37 m
↓
N 48.502047°
W  2.966309°		 ← 809.45 m →
655 099 m²		 N 48.502047°
W  2.955322°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16114 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11321 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.491775512695312 y=0.345504760742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.491775512695312 × 215)
    floor (0.491775512695312 × 32768)
    floor (16114.5)     		tx = 16114
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345504760742188 × 215)
    floor (0.345504760742188 × 32768)
    floor (11321.5)     		ty = 11321
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16114 / 11321 ti = "15/16114/11321"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16114/11321.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16114 ÷ 215
    16114 ÷ 32768     		x = 0.49176025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11321 ÷ 215
    11321 ÷ 32768     		y = 0.345489501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49176025390625 × 2 - 1) × π
    -0.0164794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.05177185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345489501953125 × 2 - 1) × π
    0.30902099609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.970818091105377
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05177185} λ = -0.05177185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.970818091105377))-π/2
    2×atan(2.64010342124618)-π/2
    2×1.20872189562485-π/2
    2.41744379124971-1.57079632675     		φ = 0.84664746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05177185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.966309°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84664746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.509326°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16114 KachelY 11321 -0.05177185 0.84664746 -2.966309 48.509326
    Oben rechts KachelX + 1 16115 KachelY 11321 -0.05158010 0.84664746 -2.955322 48.509326
    Unten links KachelX 16114 KachelY + 1 11322 -0.05177185 0.84652042 -2.966309 48.502047
    Unten rechts KachelX + 1 16115 KachelY + 1 11322 -0.05158010 0.84652042 -2.955322 48.502047
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84664746-0.84652042) × R
    0.000127039999999967 × 6371000     		dl = 809.371839999791m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84664746-0.84652042) × R
    0.000127039999999967 × 6371000     		dr = 809.371839999791m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05177185--0.05158010) × cos(0.84664746) × R
    0.000191750000000004 × 0.662498129831394 × 6371000     		do = 809.333718453646m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05177185--0.05158010) × cos(0.84652042) × R
    0.000191750000000004 × 0.662593285520656 × 6371000     		du = 809.449964378508m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84664746)-sin(0.84652042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662498129831394-0.662593285520656)×R²
    abs(-0.05158010--0.05177185)×9.51556892613281e-05×R²
    0.000191750000000004×9.51556892613281e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.51556892613281e-05×40589641000000     		ar = 655098.964848935m²