Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16068 / 11460
↖ ↑ ↗
← N 47.487513°
W  3.471680°		 ← 825.52 m → N 47.487513°
W  3.460693°		 →
↑
825.62 m
↓
↑
825.62 m
↓
N 47.480088°
W  3.471680°		 ← 825.64 m →
681 615 m²		 N 47.480088°
W  3.460693°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11460 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.490371704101562 y=0.349746704101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.490371704101562 × 215)
    floor (0.490371704101562 × 32768)
    floor (16068.5)     		tx = 16068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.349746704101562 × 215)
    floor (0.349746704101562 × 32768)
    floor (11460.5)     		ty = 11460
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16068 / 11460 ti = "15/16068/11460"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16068/11460.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16068 ÷ 215
    16068 ÷ 32768     		x = 0.4903564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11460 ÷ 215
    11460 ÷ 32768     		y = 0.3497314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4903564453125 × 2 - 1) × π
    -0.019287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.06059224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3497314453125 × 2 - 1) × π
    0.300537109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.944165174916626
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.06059224} λ = -0.06059224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.944165174916626))-π/2
    2×atan(2.57066642573478)-π/2
    2×1.1998048911833-π/2
    2.39960978236659-1.57079632675     		φ = 0.82881346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.06059224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.471680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82881346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.487513°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16068 KachelY 11460 -0.06059224 0.82881346 -3.471680 47.487513
    Oben rechts KachelX + 1 16069 KachelY 11460 -0.06040049 0.82881346 -3.460693 47.487513
    Unten links KachelX 16068 KachelY + 1 11461 -0.06059224 0.82868387 -3.471680 47.480088
    Unten rechts KachelX + 1 16069 KachelY + 1 11461 -0.06040049 0.82868387 -3.460693 47.480088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82881346-0.82868387) × R
    0.000129590000000013 × 6371000     		dl = 825.617890000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82881346-0.82868387) × R
    0.000129590000000013 × 6371000     		dr = 825.617890000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.06059224--0.06040049) × cos(0.82881346) × R
    0.000191749999999997 × 0.675750869883859 × 6371000     		do = 825.523785871754m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.06059224--0.06040049) × cos(0.82868387) × R
    0.000191749999999997 × 0.675846388897141 × 6371000     		du = 825.640475647501m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82881346)-sin(0.82868387))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.675750869883859-0.675846388897141)×R²
    abs(-0.06040049--0.06059224)×9.5519013281975e-05×R²
    0.000191749999999997×9.5519013281975e-05×6371000²
    0.000191749999999997×9.5519013281975e-05×40589641000000     		ar = 681615.377772881m²