Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15995 / 11281
↖ ↑ ↗
← N 48.799627°
W  4.273682°		 ← 804.69 m → N 48.799627°
W  4.262695°		 →
↑
804.72 m
↓
↑
804.72 m
↓
N 48.792390°
W  4.273682°		 ← 804.80 m →
647 595 m²		 N 48.792390°
W  4.262695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15995 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11281 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.488143920898438 y=0.344284057617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.488143920898438 × 215)
    floor (0.488143920898438 × 32768)
    floor (15995.5)     		tx = 15995
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344284057617188 × 215)
    floor (0.344284057617188 × 32768)
    floor (11281.5)     		ty = 11281
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15995 / 11281 ti = "15/15995/11281"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15995/11281.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15995 ÷ 215
    15995 ÷ 32768     		x = 0.488128662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11281 ÷ 215
    11281 ÷ 32768     		y = 0.344268798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.488128662109375 × 2 - 1) × π
    -0.02374267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.07458982
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344268798828125 × 2 - 1) × π
    0.31146240234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.978487995044586
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.07458982} λ = -0.07458982}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.978487995044586))-π/2
    2×atan(2.66043061503898)-π/2
    2×1.2112552488971-π/2
    2.42251049779421-1.57079632675     		φ = 0.85171417
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.07458982} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.273682°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85171417 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.799627°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15995 KachelY 11281 -0.07458982 0.85171417 -4.273682 48.799627
    Oben rechts KachelX + 1 15996 KachelY 11281 -0.07439807 0.85171417 -4.262695 48.799627
    Unten links KachelX 15995 KachelY + 1 11282 -0.07458982 0.85158786 -4.273682 48.792390
    Unten rechts KachelX + 1 15996 KachelY + 1 11282 -0.07439807 0.85158786 -4.262695 48.792390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85171417-0.85158786) × R
    0.000126310000000074 × 6371000     		dl = 804.721010000471m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85171417-0.85158786) × R
    0.000126310000000074 × 6371000     		dr = 804.721010000471m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.07458982--0.07439807) × cos(0.85171417) × R
    0.000191750000000004 × 0.658694354543587 × 6371000     		do = 804.68687726388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.07458982--0.07439807) × cos(0.85158786) × R
    0.000191750000000004 × 0.658789386274791 × 6371000     		du = 804.802971756714m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85171417)-sin(0.85158786))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658694354543587-0.658789386274791)×R²
    abs(-0.07439807--0.07458982)×9.5031731204287e-05×R²
    0.000191750000000004×9.5031731204287e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.5031731204287e-05×40589641000000     		ar = 647595.149305486m²