Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15995 / 11159
↖ ↑ ↗
← N 49.674738°
W  4.273682°		 ← 790.55 m → N 49.674738°
W  4.262695°		 →
↑
790.58 m
↓
↑
790.58 m
↓
N 49.667628°
W  4.273682°		 ← 790.67 m →
625 040 m²		 N 49.667628°
W  4.262695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15995 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11159 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.488143920898438 y=0.340560913085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.488143920898438 × 215)
    floor (0.488143920898438 × 32768)
    floor (15995.5)     		tx = 15995
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340560913085938 × 215)
    floor (0.340560913085938 × 32768)
    floor (11159.5)     		ty = 11159
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15995 / 11159 ti = "15/15995/11159"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15995/11159.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15995 ÷ 215
    15995 ÷ 32768     		x = 0.488128662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11159 ÷ 215
    11159 ÷ 32768     		y = 0.340545654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.488128662109375 × 2 - 1) × π
    -0.02374267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.07458982
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340545654296875 × 2 - 1) × π
    0.31890869140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.00188120205917
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.07458982} λ = -0.07458982}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00188120205917))-π/2
    2×atan(2.72340027874228)-π/2
    2×1.21889202892957-π/2
    2.43778405785914-1.57079632675     		φ = 0.86698773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.07458982} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.273682°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86698773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.674738°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15995 KachelY 11159 -0.07458982 0.86698773 -4.273682 49.674738
    Oben rechts KachelX + 1 15996 KachelY 11159 -0.07439807 0.86698773 -4.262695 49.674738
    Unten links KachelX 15995 KachelY + 1 11160 -0.07458982 0.86686364 -4.273682 49.667628
    Unten rechts KachelX + 1 15996 KachelY + 1 11160 -0.07439807 0.86686364 -4.262695 49.667628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86698773-0.86686364) × R
    0.00012408999999991 × 6371000     		dl = 790.577389999427m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86698773-0.86686364) × R
    0.00012408999999991 × 6371000     		dr = 790.577389999427m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.07458982--0.07439807) × cos(0.86698773) × R
    0.000191750000000004 × 0.647125983383425 × 6371000     		do = 790.554500996058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.07458982--0.07439807) × cos(0.86686364) × R
    0.000191750000000004 × 0.647220582517329 × 6371000     		du = 790.670067011051m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86698773)-sin(0.86686364))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647125983383425-0.647220582517329)×R²
    abs(-0.07439807--0.07458982)×9.45991339034169e-05×R²
    0.000191750000000004×9.45991339034169e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.45991339034169e-05×40589641000000     		ar = 625040.1967913m²