Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15995 / 11157
↖ ↑ ↗
← N 49.688955°
W  4.273682°		 ← 790.32 m → N 49.688955°
W  4.262695°		 →
↑
790.32 m
↓
↑
790.32 m
↓
N 49.681847°
W  4.273682°		 ← 790.44 m →
624 656 m²		 N 49.681847°
W  4.262695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15995 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11157 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.488143920898438 y=0.340499877929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.488143920898438 × 215)
    floor (0.488143920898438 × 32768)
    floor (15995.5)     		tx = 15995
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340499877929688 × 215)
    floor (0.340499877929688 × 32768)
    floor (11157.5)     		ty = 11157
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15995 / 11157 ti = "15/15995/11157"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15995/11157.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15995 ÷ 215
    15995 ÷ 32768     		x = 0.488128662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11157 ÷ 215
    11157 ÷ 32768     		y = 0.340484619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.488128662109375 × 2 - 1) × π
    -0.02374267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.07458982
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340484619140625 × 2 - 1) × π
    0.31903076171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.00226469725613
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.07458982} λ = -0.07458982}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00226469725613))-π/2
    2×atan(2.72444488995747)-π/2
    2×1.21901609564378-π/2
    2.43803219128755-1.57079632675     		φ = 0.86723586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.07458982} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.273682°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86723586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.688955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15995 KachelY 11157 -0.07458982 0.86723586 -4.273682 49.688955
    Oben rechts KachelX + 1 15996 KachelY 11157 -0.07439807 0.86723586 -4.262695 49.688955
    Unten links KachelX 15995 KachelY + 1 11158 -0.07458982 0.86711181 -4.273682 49.681847
    Unten rechts KachelX + 1 15996 KachelY + 1 11158 -0.07439807 0.86711181 -4.262695 49.681847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86723586-0.86711181) × R
    0.000124049999999931 × 6371000     		dl = 790.322549999561m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86723586-0.86711181) × R
    0.000124049999999931 × 6371000     		dr = 790.322549999561m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.07458982--0.07439807) × cos(0.86723586) × R
    0.000191750000000004 × 0.646936793350283 × 6371000     		do = 790.323379025863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.07458982--0.07439807) × cos(0.86711181) × R
    0.000191750000000004 × 0.647031381909497 × 6371000     		du = 790.4389321224m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86723586)-sin(0.86711181))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646936793350283-0.647031381909497)×R²
    abs(-0.07439807--0.07458982)×9.45885592144036e-05×R²
    0.000191750000000004×9.45885592144036e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.45885592144036e-05×40589641000000     		ar = 624656.0511456m²