Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15987 / 11149
↖ ↑ ↗
← N 49.745781°
W  4.361572°		 ← 789.40 m → N 49.745781°
W  4.350586°		 →
↑
789.43 m
↓
↑
789.43 m
↓
N 49.738682°
W  4.361572°		 ← 789.51 m →
623 221 m²		 N 49.738682°
W  4.350586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15987 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11149 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.487899780273438 y=0.340255737304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.487899780273438 × 215)
    floor (0.487899780273438 × 32768)
    floor (15987.5)     		tx = 15987
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340255737304688 × 215)
    floor (0.340255737304688 × 32768)
    floor (11149.5)     		ty = 11149
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15987 / 11149 ti = "15/15987/11149"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15987/11149.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15987 ÷ 215
    15987 ÷ 32768     		x = 0.487884521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11149 ÷ 215
    11149 ÷ 32768     		y = 0.340240478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.487884521484375 × 2 - 1) × π
    -0.02423095703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.07612380
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340240478515625 × 2 - 1) × π
    0.31951904296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.00379867804398
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.07612380} λ = -0.07612380}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00379867804398))-π/2
    2×atan(2.72862734315748)-π/2
    2×1.21951199977291-π/2
    2.43902399954582-1.57079632675     		φ = 0.86822767
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.07612380} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.361572°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86822767 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.745781°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15987 KachelY 11149 -0.07612380 0.86822767 -4.361572 49.745781
    Oben rechts KachelX + 1 15988 KachelY 11149 -0.07593205 0.86822767 -4.350586 49.745781
    Unten links KachelX 15987 KachelY + 1 11150 -0.07612380 0.86810376 -4.361572 49.738682
    Unten rechts KachelX + 1 15988 KachelY + 1 11150 -0.07593205 0.86810376 -4.350586 49.738682
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86822767-0.86810376) × R
    0.000123910000000005 × 6371000     		dl = 789.430610000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86822767-0.86810376) × R
    0.000123910000000005 × 6371000     		dr = 789.430610000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.07612380--0.07593205) × cos(0.86822767) × R
    0.000191750000000004 × 0.64618017688641 × 6371000     		do = 789.399066656399m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.07612380--0.07593205) × cos(0.86810376) × R
    0.000191750000000004 × 0.646274738165481 × 6371000     		du = 789.514586426442m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86822767)-sin(0.86810376))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64618017688641-0.646274738165481)×R²
    abs(-0.07593205--0.07612380)×9.4561279070593e-05×R²
    0.000191750000000004×9.4561279070593e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.4561279070593e-05×40589641000000     		ar = 623221.384942693m²