Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15973 / 11317
↖ ↑ ↗
← N 48.538432°
W  4.515381°		 ← 808.83 m → N 48.538432°
W  4.504395°		 →
↑
808.93 m
↓
↑
808.93 m
↓
N 48.531157°
W  4.515381°		 ← 808.94 m →
654 328 m²		 N 48.531157°
W  4.504395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15973 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11317 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.487472534179688 y=0.345382690429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.487472534179688 × 215)
    floor (0.487472534179688 × 32768)
    floor (15973.5)     		tx = 15973
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345382690429688 × 215)
    floor (0.345382690429688 × 32768)
    floor (11317.5)     		ty = 11317
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15973 / 11317 ti = "15/15973/11317"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15973/11317.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15973 ÷ 215
    15973 ÷ 32768     		x = 0.487457275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11317 ÷ 215
    11317 ÷ 32768     		y = 0.345367431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.487457275390625 × 2 - 1) × π
    -0.02508544921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.07880826
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345367431640625 × 2 - 1) × π
    0.30926513671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.971585081499298
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.07880826} λ = -0.07880826}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.971585081499298))-π/2
    2×atan(2.64212913196025)-π/2
    2×1.20897588749416-π/2
    2.41795177498832-1.57079632675     		φ = 0.84715545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.07880826} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.515381°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84715545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.538432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15973 KachelY 11317 -0.07880826 0.84715545 -4.515381 48.538432
    Oben rechts KachelX + 1 15974 KachelY 11317 -0.07861652 0.84715545 -4.504395 48.538432
    Unten links KachelX 15973 KachelY + 1 11318 -0.07880826 0.84702848 -4.515381 48.531157
    Unten rechts KachelX + 1 15974 KachelY + 1 11318 -0.07861652 0.84702848 -4.504395 48.531157
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84715545-0.84702848) × R
    0.00012697000000006 × 6371000     		dl = 808.925870000379m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84715545-0.84702848) × R
    0.00012697000000006 × 6371000     		dr = 808.925870000379m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.07880826--0.07861652) × cos(0.84715545) × R
    0.00019174000000001 × 0.662117527566077 × 6371000     		do = 808.826576280037m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.07880826--0.07861652) × cos(0.84702848) × R
    0.00019174000000001 × 0.662212673548365 × 6371000     		du = 808.942804284729m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84715545)-sin(0.84702848))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662117527566077-0.662212673548365)×R²
    abs(-0.07861652--0.07880826)×9.51459822879919e-05×R²
    0.00019174000000001×9.51459822879919e-05×6371000²
    0.00019174000000001×9.51459822879919e-05×40589641000000     		ar = 654327.752695688m²