Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15898 / 15898
↖ ↑ ↗
← N  5.331644°
W  5.339355°		 ← 1 216.29 m → N  5.331644°
W  5.328369°		 →
↑
1 216.35 m
↓
↑
1 216.35 m
↓
N  5.320706°
W  5.339355°		 ← 1 216.31 m →
1 479 450 m²		 N  5.320706°
W  5.328369°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15898 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15898 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485183715820312 y=0.485183715820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485183715820312 × 215)
    floor (0.485183715820312 × 32768)
    floor (15898.5)     		tx = 15898
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.485183715820312 × 215)
    floor (0.485183715820312 × 32768)
    floor (15898.5)     		ty = 15898
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15898 / 15898 ti = "15/15898/15898"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15898/15898.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15898 ÷ 215
    15898 ÷ 32768     		x = 0.48516845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15898 ÷ 215
    15898 ÷ 32768     		y = 0.48516845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48516845703125 × 2 - 1) × π
    -0.0296630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.09318933
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.48516845703125 × 2 - 1) × π
    0.0296630859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0931893328613892
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09318933} λ = -0.09318933}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0931893328613892))-π/2
    2×atan(1.09766954051025)-π/2
    2×0.831925535907237-π/2
    1.66385107181447-1.57079632675     		φ = 0.09305475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09318933} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.339355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.09305475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.331644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15898 KachelY 15898 -0.09318933 0.09305475 -5.339355 5.331644
    Oben rechts KachelX + 1 15899 KachelY 15898 -0.09299759 0.09305475 -5.328369 5.331644
    Unten links KachelX 15898 KachelY + 1 15899 -0.09318933 0.09286383 -5.339355 5.320706
    Unten rechts KachelX + 1 15899 KachelY + 1 15899 -0.09299759 0.09286383 -5.328369 5.320706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.09305475-0.09286383) × R
    0.000190920000000011 × 6371000     		dl = 1216.35132000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.09305475-0.09286383) × R
    0.000190920000000011 × 6371000     		dr = 1216.35132000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09318933--0.09299759) × cos(0.09305475) × R
    0.000191739999999996 × 0.995673530079199 × 6371000     		do = 1216.29043017018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09318933--0.09299759) × cos(0.09286383) × R
    0.000191739999999996 × 0.995691252316818 × 6371000     		du = 1216.31207922217m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.09305475)-sin(0.09286383))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995673530079199-0.995691252316818)×R²
    abs(-0.09299759--0.09318933)×1.77222376189778e-05×R²
    0.000191739999999996×1.77222376189778e-05×6371000²
    0.000191739999999996×1.77222376189778e-05×40589641000000     		ar = 1479449.64116136m²