Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15896 / 15930
↖ ↑ ↗
← N  4.981505°
W  5.361328°		 ← 1 217.02 m → N  4.981505°
W  5.350342°		 →
↑
1 216.99 m
↓
↑
1 216.99 m
↓
N  4.970560°
W  5.361328°		 ← 1 217.05 m →
1 481 117 m²		 N  4.970560°
W  5.350342°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15896 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15930 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485122680664062 y=0.486160278320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485122680664062 × 215)
    floor (0.485122680664062 × 32768)
    floor (15896.5)     		tx = 15896
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.486160278320312 × 215)
    floor (0.486160278320312 × 32768)
    floor (15930.5)     		ty = 15930
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15896 / 15930 ti = "15/15896/15930"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15896/15930.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15896 ÷ 215
    15896 ÷ 32768     		x = 0.485107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15930 ÷ 215
    15930 ÷ 32768     		y = 0.48614501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485107421875 × 2 - 1) × π
    -0.02978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.09357283
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.48614501953125 × 2 - 1) × π
    0.0277099609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.087053409710022
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09357283} λ = -0.09357283}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.087053409710022))-π/2
    2×atan(1.09095494574958)-π/2
    2×0.828869995803959-π/2
    1.65773999160792-1.57079632675     		φ = 0.08694366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09357283} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.361328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.08694366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 4.981505°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15896 KachelY 15930 -0.09357283 0.08694366 -5.361328 4.981505
    Oben rechts KachelX + 1 15897 KachelY 15930 -0.09338108 0.08694366 -5.350342 4.981505
    Unten links KachelX 15896 KachelY + 1 15931 -0.09357283 0.08675264 -5.361328 4.970560
    Unten rechts KachelX + 1 15897 KachelY + 1 15931 -0.09338108 0.08675264 -5.350342 4.970560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.08694366-0.08675264) × R
    0.00019102 × 6371000     		dl = 1216.98842m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.08694366-0.08675264) × R
    0.00019102 × 6371000     		dr = 1216.98842m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09357283--0.09338108) × cos(0.08694366) × R
    0.000191749999999991 × 0.996222780289096 × 6371000     		do = 1217.02485014523m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09357283--0.09338108) × cos(0.08675264) × R
    0.000191749999999991 × 0.996239349175591 × 6371000     		du = 1217.0450913473m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.08694366)-sin(0.08675264))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.996222780289096-0.996239349175591)×R²
    abs(-0.09338108--0.09357283)×1.65688864940394e-05×R²
    0.000191749999999991×1.65688864940394e-05×6371000²
    0.000191749999999991×1.65688864940394e-05×40589641000000     		ar = 1481117.47063693m²