Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15896 / 15909
↖ ↑ ↗
← N  5.211306°
W  5.361328°		 ← 1 216.59 m → N  5.211306°
W  5.350342°		 →
↑
1 216.54 m
↓
↑
1 216.54 m
↓
N  5.200365°
W  5.361328°		 ← 1 216.61 m →
1 480 046 m²		 N  5.200365°
W  5.350342°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15896 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15909 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485122680664062 y=0.485519409179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485122680664062 × 215)
    floor (0.485122680664062 × 32768)
    floor (15896.5)     		tx = 15896
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.485519409179688 × 215)
    floor (0.485519409179688 × 32768)
    floor (15909.5)     		ty = 15909
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15896 / 15909 ti = "15/15896/15909"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15896/15909.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15896 ÷ 215
    15896 ÷ 32768     		x = 0.485107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15909 ÷ 215
    15909 ÷ 32768     		y = 0.485504150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485107421875 × 2 - 1) × π
    -0.02978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.09357283
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.485504150390625 × 2 - 1) × π
    0.02899169921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0910801092781067
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09357283} λ = -0.09357283}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0910801092781067))-π/2
    2×atan(1.09535674998235)-π/2
    2×0.830875384727005-π/2
    1.66175076945401-1.57079632675     		φ = 0.09095444
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09357283} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.361328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.09095444 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.211306°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15896 KachelY 15909 -0.09357283 0.09095444 -5.361328 5.211306
    Oben rechts KachelX + 1 15897 KachelY 15909 -0.09338108 0.09095444 -5.350342 5.211306
    Unten links KachelX 15896 KachelY + 1 15910 -0.09357283 0.09076349 -5.361328 5.200365
    Unten rechts KachelX + 1 15897 KachelY + 1 15910 -0.09338108 0.09076349 -5.350342 5.200365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.09095444-0.09076349) × R
    0.000190949999999995 × 6371000     		dl = 1216.54244999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.09095444-0.09076349) × R
    0.000190949999999995 × 6371000     		dr = 1216.54244999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09357283--0.09338108) × cos(0.09095444) × R
    0.000191749999999991 × 0.99586649570814 × 6371000     		do = 1216.58959891696m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09357283--0.09338108) × cos(0.09076349) × R
    0.000191749999999991 × 0.995883821366268 × 6371000     		du = 1216.61076462096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.09095444)-sin(0.09076349))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99586649570814-0.995883821366268)×R²
    abs(-0.09338108--0.09357283)×1.73256581281755e-05×R²
    0.000191749999999991×1.73256581281755e-05×6371000²
    0.000191749999999991×1.73256581281755e-05×40589641000000     		ar = 1480045.77029674m²