Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15894 / 15886
↖ ↑ ↗
← N  5.462895°
W  5.383301°		 ← 1 216.03 m → N  5.462895°
W  5.372315°		 →
↑
1 216.03 m
↓
↑
1 216.03 m
↓
N  5.451959°
W  5.383301°		 ← 1 216.05 m →
1 478 742 m²		 N  5.451959°
W  5.372315°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15894 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15886 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485061645507812 y=0.484817504882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485061645507812 × 215)
    floor (0.485061645507812 × 32768)
    floor (15894.5)     		tx = 15894
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.484817504882812 × 215)
    floor (0.484817504882812 × 32768)
    floor (15886.5)     		ty = 15886
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15894 / 15886 ti = "15/15894/15886"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15894/15886.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15894 ÷ 215
    15894 ÷ 32768     		x = 0.48504638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15886 ÷ 215
    15886 ÷ 32768     		y = 0.48480224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48504638671875 × 2 - 1) × π
    -0.0299072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.09395632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.48480224609375 × 2 - 1) × π
    0.0303955078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0954903040431519
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09395632} λ = -0.09395632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0954903040431519))-π/2
    2×atan(1.10019815450839)-π/2
    2×0.833070920505208-π/2
    1.66614184101042-1.57079632675     		φ = 0.09534551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09395632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.383301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.09534551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.462895°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15894 KachelY 15886 -0.09395632 0.09534551 -5.383301 5.462895
    Oben rechts KachelX + 1 15895 KachelY 15886 -0.09376458 0.09534551 -5.372315 5.462895
    Unten links KachelX 15894 KachelY + 1 15887 -0.09395632 0.09515464 -5.383301 5.451959
    Unten rechts KachelX + 1 15895 KachelY + 1 15887 -0.09376458 0.09515464 -5.372315 5.451959
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.09534551-0.09515464) × R
    0.000190869999999996 × 6371000     		dl = 1216.03276999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.09534551-0.09515464) × R
    0.000190869999999996 × 6371000     		dr = 1216.03276999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09395632--0.09376458) × cos(0.09534551) × R
    0.000191739999999996 × 0.995458059236125 × 6371000     		do = 1216.0272162587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09395632--0.09376458) × cos(0.09515464) × R
    0.000191739999999996 × 0.995476212139896 × 6371000     		du = 1216.04939140192m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.09534551)-sin(0.09515464))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995458059236125-0.995476212139896)×R²
    abs(-0.09376458--0.09395632)×1.81529037703854e-05×R²
    0.000191739999999996×1.81529037703854e-05×6371000²
    0.000191739999999996×1.81529037703854e-05×40589641000000     		ar = 1478742.43152223m²