Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15893 / 15927
↖ ↑ ↗
← N  5.014339°
W  5.394287°		 ← 1 216.96 m → N  5.014339°
W  5.383301°		 →
↑
1 216.92 m
↓
↑
1 216.92 m
↓
N  5.003395°
W  5.394287°		 ← 1 216.98 m →
1 480 966 m²		 N  5.003395°
W  5.383301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15893 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15927 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485031127929688 y=0.486068725585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485031127929688 × 215)
    floor (0.485031127929688 × 32768)
    floor (15893.5)     		tx = 15893
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.486068725585938 × 215)
    floor (0.486068725585938 × 32768)
    floor (15927.5)     		ty = 15927
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15893 / 15927 ti = "15/15893/15927"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15893/15927.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15893 ÷ 215
    15893 ÷ 32768     		x = 0.485015869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15927 ÷ 215
    15927 ÷ 32768     		y = 0.486053466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485015869140625 × 2 - 1) × π
    -0.02996826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.09414807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.486053466796875 × 2 - 1) × π
    0.02789306640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0876286525054626
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09414807} λ = -0.09414807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0876286525054626))-π/2
    2×atan(1.09158269025771)-π/2
    2×0.829156523620467-π/2
    1.65831304724093-1.57079632675     		φ = 0.08751672
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09414807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.394287°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.08751672 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.014339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15893 KachelY 15927 -0.09414807 0.08751672 -5.394287 5.014339
    Oben rechts KachelX + 1 15894 KachelY 15927 -0.09395632 0.08751672 -5.383301 5.014339
    Unten links KachelX 15893 KachelY + 1 15928 -0.09414807 0.08732571 -5.394287 5.003395
    Unten rechts KachelX + 1 15894 KachelY + 1 15928 -0.09395632 0.08732571 -5.383301 5.003395
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.08751672-0.08732571) × R
    0.000191010000000005 × 6371000     		dl = 1216.92471000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.08751672-0.08732571) × R
    0.000191010000000005 × 6371000     		dr = 1216.92471000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09414807--0.09395632) × cos(0.08751672) × R
    0.000191750000000004 × 0.996172855527151 × 6371000     		do = 1216.96386009658m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09414807--0.09395632) × cos(0.08732571) × R
    0.000191750000000004 × 0.996189532592123 × 6371000     		du = 1216.98423345372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.08751672)-sin(0.08732571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.996172855527151-0.996189532592123)×R²
    abs(-0.09395632--0.09414807)×1.66770649714376e-05×R²
    0.000191750000000004×1.66770649714376e-05×6371000²
    0.000191750000000004×1.66770649714376e-05×40589641000000     		ar = 1480965.79345213m²