Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15893 / 15891
↖ ↑ ↗
← N  5.408211°
W  5.394287°		 ← 1 216.20 m → N  5.408211°
W  5.383301°		 →
↑
1 216.22 m
↓
↑
1 216.22 m
↓
N  5.397273°
W  5.394287°		 ← 1 216.22 m →
1 479 186 m²		 N  5.397273°
W  5.383301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15893 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15891 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485031127929688 y=0.484970092773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485031127929688 × 215)
    floor (0.485031127929688 × 32768)
    floor (15893.5)     		tx = 15893
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.484970092773438 × 215)
    floor (0.484970092773438 × 32768)
    floor (15891.5)     		ty = 15891
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15893 / 15891 ti = "15/15893/15891"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15893/15891.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15893 ÷ 215
    15893 ÷ 32768     		x = 0.485015869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15891 ÷ 215
    15891 ÷ 32768     		y = 0.484954833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485015869140625 × 2 - 1) × π
    -0.02996826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.09414807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.484954833984375 × 2 - 1) × π
    0.03009033203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0945315660507507
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09414807} λ = -0.09414807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0945315660507507))-π/2
    2×atan(1.0991438582162)-π/2
    2×0.832593707069228-π/2
    1.66518741413846-1.57079632675     		φ = 0.09439109
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09414807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.394287°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.09439109 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.408211°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15893 KachelY 15891 -0.09414807 0.09439109 -5.394287 5.408211
    Oben rechts KachelX + 1 15894 KachelY 15891 -0.09395632 0.09439109 -5.383301 5.408211
    Unten links KachelX 15893 KachelY + 1 15892 -0.09414807 0.09420019 -5.394287 5.397273
    Unten rechts KachelX + 1 15894 KachelY + 1 15892 -0.09395632 0.09420019 -5.383301 5.397273
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.09439109-0.09420019) × R
    0.000190899999999994 × 6371000     		dl = 1216.22389999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.09439109-0.09420019) × R
    0.000190899999999994 × 6371000     		dr = 1216.22389999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09414807--0.09395632) × cos(0.09439109) × R
    0.000191750000000004 × 0.995548467680465 × 6371000     		do = 1216.20108339584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09414807--0.09395632) × cos(0.09420019) × R
    0.000191750000000004 × 0.99556644205343 × 6371000     		du = 1216.22304159535m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.09439109)-sin(0.09420019))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995548467680465-0.99556644205343)×R²
    abs(-0.09395632--0.09414807)×1.79743729651349e-05×R²
    0.000191750000000004×1.79743729651349e-05×6371000²
    0.000191750000000004×1.79743729651349e-05×40589641000000     		ar = 1479186.18236748m²