Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15890 / 15882
↖ ↑ ↗
← N  5.506640°
W  5.427246°		 ← 1 215.94 m → N  5.506640°
W  5.416260°		 →
↑
1 215.97 m
↓
↑
1 215.97 m
↓
N  5.495704°
W  5.427246°		 ← 1 215.96 m →
1 478 557 m²		 N  5.495704°
W  5.416260°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15890 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15882 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484939575195312 y=0.484695434570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484939575195312 × 215)
    floor (0.484939575195312 × 32768)
    floor (15890.5)     		tx = 15890
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.484695434570312 × 215)
    floor (0.484695434570312 × 32768)
    floor (15882.5)     		ty = 15882
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15890 / 15882 ti = "15/15890/15882"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15890/15882.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15890 ÷ 215
    15890 ÷ 32768     		x = 0.48492431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15882 ÷ 215
    15882 ÷ 32768     		y = 0.48468017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48492431640625 × 2 - 1) × π
    -0.0301513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.09472331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.48468017578125 × 2 - 1) × π
    0.0306396484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0962572944370728
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09472331} λ = -0.09472331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0962572944370728))-π/2
    2×atan(1.10104231961619)-π/2
    2×0.8334526599153-π/2
    1.6669053198306-1.57079632675     		φ = 0.09610899
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09472331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.427246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.09610899 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.506640°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15890 KachelY 15882 -0.09472331 0.09610899 -5.427246 5.506640
    Oben rechts KachelX + 1 15891 KachelY 15882 -0.09453157 0.09610899 -5.416260 5.506640
    Unten links KachelX 15890 KachelY + 1 15883 -0.09472331 0.09591813 -5.427246 5.495704
    Unten rechts KachelX + 1 15891 KachelY + 1 15883 -0.09453157 0.09591813 -5.416260 5.495704
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.09610899-0.09591813) × R
    0.000190860000000001 × 6371000     		dl = 1215.96906000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.09610899-0.09591813) × R
    0.000190860000000001 × 6371000     		dr = 1215.96906000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09472331--0.09453157) × cos(0.09610899) × R
    0.00019174000000001 × 0.995385084968799 × 6371000     		do = 1215.93807267877m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09472331--0.09453157) × cos(0.09591813) × R
    0.00019174000000001 × 0.995403381974428 × 6371000     		du = 1215.9604238533m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.09610899)-sin(0.09591813))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995385084968799-0.995403381974428)×R²
    abs(-0.09453157--0.09472331)×1.82970056290532e-05×R²
    0.00019174000000001×1.82970056290532e-05×6371000²
    0.00019174000000001×1.82970056290532e-05×40589641000000     		ar = 1478556.66891016m²