Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15889 / 15924
↖ ↑ ↗
← N  5.047171°
W  5.438232°		 ← 1 216.90 m → N  5.047171°
W  5.427246°		 →
↑
1 216.92 m
↓
↑
1 216.92 m
↓
N  5.036227°
W  5.438232°		 ← 1 216.92 m →
1 480 891 m²		 N  5.036227°
W  5.427246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15889 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15924 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484909057617188 y=0.485977172851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484909057617188 × 215)
    floor (0.484909057617188 × 32768)
    floor (15889.5)     		tx = 15889
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.485977172851562 × 215)
    floor (0.485977172851562 × 32768)
    floor (15924.5)     		ty = 15924
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15889 / 15924 ti = "15/15889/15924"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15889/15924.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15889 ÷ 215
    15889 ÷ 32768     		x = 0.484893798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15924 ÷ 215
    15924 ÷ 32768     		y = 0.4859619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484893798828125 × 2 - 1) × π
    -0.03021240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.09491506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4859619140625 × 2 - 1) × π
    0.028076171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0882038953009033
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09491506} λ = -0.09491506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0882038953009033))-π/2
    2×atan(1.09221079597524)-π/2
    2×0.829443037030972-π/2
    1.65888607406194-1.57079632675     		φ = 0.08808975
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09491506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.438232°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.08808975 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.047171°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15889 KachelY 15924 -0.09491506 0.08808975 -5.438232 5.047171
    Oben rechts KachelX + 1 15890 KachelY 15924 -0.09472331 0.08808975 -5.427246 5.047171
    Unten links KachelX 15889 KachelY + 1 15925 -0.09491506 0.08789874 -5.438232 5.036227
    Unten rechts KachelX + 1 15890 KachelY + 1 15925 -0.09472331 0.08789874 -5.427246 5.036227
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.08808975-0.08789874) × R
    0.000191009999999991 × 6371000     		dl = 1216.92470999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.08808975-0.08789874) × R
    0.000191009999999991 × 6371000     		dr = 1216.92470999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09491506--0.09472331) × cos(0.08808975) × R
    0.000191749999999991 × 0.996122606263553 × 6371000     		do = 1216.90247362379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09491506--0.09472331) × cos(0.08789874) × R
    0.000191749999999991 × 0.996139392362256 × 6371000     		du = 1216.92298018082m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.08808975)-sin(0.08789874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.996122606263553-0.996139392362256)×R²
    abs(-0.09472331--0.09491506)×1.67860987028146e-05×R²
    0.000191749999999991×1.67860987028146e-05×6371000²
    0.000191749999999991×1.67860987028146e-05×40589641000000     		ar = 1480891.17178329m²