Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15888 / 15915
↖ ↑ ↗
← N  5.145657°
W  5.449219°		 ← 1 216.72 m → N  5.145657°
W  5.438232°		 →
↑
1 216.67 m
↓
↑
1 216.67 m
↓
N  5.134715°
W  5.449219°		 ← 1 216.74 m →
1 480 354 m²		 N  5.134715°
W  5.438232°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15888 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15915 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484878540039062 y=0.485702514648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484878540039062 × 215)
    floor (0.484878540039062 × 32768)
    floor (15888.5)     		tx = 15888
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.485702514648438 × 215)
    floor (0.485702514648438 × 32768)
    floor (15915.5)     		ty = 15915
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15888 / 15915 ti = "15/15888/15915"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15888/15915.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15888 ÷ 215
    15888 ÷ 32768     		x = 0.48486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15915 ÷ 215
    15915 ÷ 32768     		y = 0.485687255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48486328125 × 2 - 1) × π
    -0.0302734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.09510681
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.485687255859375 × 2 - 1) × π
    0.02862548828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0899296236872253
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09510681} λ = -0.09510681}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0899296236872253))-π/2
    2×atan(1.09409728246315)-π/2
    2×0.830302489893076-π/2
    1.66060497978615-1.57079632675     		φ = 0.08980865
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09510681} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.449219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.08980865 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.145657°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15888 KachelY 15915 -0.09510681 0.08980865 -5.449219 5.145657
    Oben rechts KachelX + 1 15889 KachelY 15915 -0.09491506 0.08980865 -5.438232 5.145657
    Unten links KachelX 15888 KachelY + 1 15916 -0.09510681 0.08961768 -5.449219 5.134715
    Unten rechts KachelX + 1 15889 KachelY + 1 15916 -0.09491506 0.08961768 -5.438232 5.134715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.08980865-0.08961768) × R
    0.000190969999999999 × 6371000     		dl = 1216.66986999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.08980865-0.08961768) × R
    0.000190969999999999 × 6371000     		dr = 1216.66986999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09510681--0.09491506) × cos(0.08980865) × R
    0.000191750000000004 × 0.995969913038962 × 6371000     		do = 1216.71593758751m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09510681--0.09491506) × cos(0.08961768) × R
    0.000191750000000004 × 0.995987022589588 × 6371000     		du = 1216.73683928611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.08980865)-sin(0.08961768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995969913038962-0.995987022589588)×R²
    abs(-0.09491506--0.09510681)×1.71095506257268e-05×R²
    0.000191750000000004×1.71095506257268e-05×6371000²
    0.000191750000000004×1.71095506257268e-05×40589641000000     		ar = 1480354.34134388m²