Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15887 / 15885
↖ ↑ ↗
← N  5.473832°
W  5.460205°		 ← 1 216.07 m → N  5.473832°
W  5.449219°		 →
↑
1 216.10 m
↓
↑
1 216.10 m
↓
N  5.462895°
W  5.460205°		 ← 1 216.09 m →
1 478 870 m²		 N  5.462895°
W  5.449219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15887 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15885 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484848022460938 y=0.484786987304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484848022460938 × 215)
    floor (0.484848022460938 × 32768)
    floor (15887.5)     		tx = 15887
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.484786987304688 × 215)
    floor (0.484786987304688 × 32768)
    floor (15885.5)     		ty = 15885
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15887 / 15885 ti = "15/15887/15885"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15887/15885.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15887 ÷ 215
    15887 ÷ 32768     		x = 0.484832763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15885 ÷ 215
    15885 ÷ 32768     		y = 0.484771728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484832763671875 × 2 - 1) × π
    -0.03033447265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.09529856
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.484771728515625 × 2 - 1) × π
    0.03045654296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0956820516416321
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09529856} λ = -0.09529856}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0956820516416321))-π/2
    2×atan(1.10040913508923)-π/2
    2×0.833166357979625-π/2
    1.66633271595925-1.57079632675     		φ = 0.09553639
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09529856} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.460205°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.09553639 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.473832°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15887 KachelY 15885 -0.09529856 0.09553639 -5.460205 5.473832
    Oben rechts KachelX + 1 15888 KachelY 15885 -0.09510681 0.09553639 -5.449219 5.473832
    Unten links KachelX 15887 KachelY + 1 15886 -0.09529856 0.09534551 -5.460205 5.462895
    Unten rechts KachelX + 1 15888 KachelY + 1 15886 -0.09510681 0.09534551 -5.449219 5.462895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.09553639-0.09534551) × R
    0.000190880000000004 × 6371000     		dl = 1216.09648000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.09553639-0.09534551) × R
    0.000190880000000004 × 6371000     		dr = 1216.09648000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09529856--0.09510681) × cos(0.09553639) × R
    0.000191750000000004 × 0.995439869112556 × 6371000     		do = 1216.06841512279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09529856--0.09510681) × cos(0.09534551) × R
    0.000191750000000004 × 0.995458059236125 × 6371000     		du = 1216.0906368917m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.09553639)-sin(0.09534551))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995439869112556-0.995458059236125)×R²
    abs(-0.09510681--0.09529856)×1.8190123569406e-05×R²
    0.000191750000000004×1.8190123569406e-05×6371000²
    0.000191750000000004×1.8190123569406e-05×40589641000000     		ar = 1478870.03546774m²