Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15884 / 15914
↖ ↑ ↗
← N  5.156599°
W  5.493164°		 ← 1 216.69 m → N  5.156599°
W  5.482178°		 →
↑
1 216.73 m
↓
↑
1 216.73 m
↓
N  5.145657°
W  5.493164°		 ← 1 216.72 m →
1 480 406 m²		 N  5.145657°
W  5.482178°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15884 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15914 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484756469726562 y=0.485671997070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484756469726562 × 215)
    floor (0.484756469726562 × 32768)
    floor (15884.5)     		tx = 15884
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.485671997070312 × 215)
    floor (0.485671997070312 × 32768)
    floor (15914.5)     		ty = 15914
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15884 / 15914 ti = "15/15884/15914"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15884/15914.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15884 ÷ 215
    15884 ÷ 32768     		x = 0.4847412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15914 ÷ 215
    15914 ÷ 32768     		y = 0.48565673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4847412109375 × 2 - 1) × π
    -0.030517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.09587380
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.48565673828125 × 2 - 1) × π
    0.0286865234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0901213712857056
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09587380} λ = -0.09587380}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0901213712857056))-π/2
    2×atan(1.09430709310427)-π/2
    2×0.830397976490896-π/2
    1.66079595298179-1.57079632675     		φ = 0.08999963
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09587380} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.493164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.08999963 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.156599°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15884 KachelY 15914 -0.09587380 0.08999963 -5.493164 5.156599
    Oben rechts KachelX + 1 15885 KachelY 15914 -0.09568205 0.08999963 -5.482178 5.156599
    Unten links KachelX 15884 KachelY + 1 15915 -0.09587380 0.08980865 -5.493164 5.145657
    Unten rechts KachelX + 1 15885 KachelY + 1 15915 -0.09568205 0.08980865 -5.482178 5.145657
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.08999963-0.08980865) × R
    0.000190979999999993 × 6371000     		dl = 1216.73357999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.08999963-0.08980865) × R
    0.000190979999999993 × 6371000     		dr = 1216.73357999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09587380--0.09568205) × cos(0.08999963) × R
    0.000191749999999991 × 0.995952766266989 × 6371000     		do = 1216.69499041777m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09587380--0.09568205) × cos(0.08980865) × R
    0.000191749999999991 × 0.995969913038962 × 6371000     		du = 1216.71593758742m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.08999963)-sin(0.08980865))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995952766266989-0.995969913038962)×R²
    abs(-0.09568205--0.09587380)×1.71467719728424e-05×R²
    0.000191749999999991×1.71467719728424e-05×6371000²
    0.000191749999999991×1.71467719728424e-05×40589641000000     		ar = 1480406.39952104m²