Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15883 / 15899
↖ ↑ ↗
← N  5.320706°
W  5.504151°		 ← 1 216.38 m → N  5.320706°
W  5.493164°		 →
↑
1 216.42 m
↓
↑
1 216.42 m
↓
N  5.309766°
W  5.504151°		 ← 1 216.40 m →
1 479 631 m²		 N  5.309766°
W  5.493164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15883 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15899 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484725952148438 y=0.485214233398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484725952148438 × 215)
    floor (0.484725952148438 × 32768)
    floor (15883.5)     		tx = 15883
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.485214233398438 × 215)
    floor (0.485214233398438 × 32768)
    floor (15899.5)     		ty = 15899
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15883 / 15899 ti = "15/15883/15899"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15883/15899.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15883 ÷ 215
    15883 ÷ 32768     		x = 0.484710693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15899 ÷ 215
    15899 ÷ 32768     		y = 0.485198974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484710693359375 × 2 - 1) × π
    -0.03057861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.09606555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.485198974609375 × 2 - 1) × π
    0.02960205078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0929975852629089
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09606555} λ = -0.09606555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0929975852629089))-π/2
    2×atan(1.09745908518972)-π/2
    2×0.831830076053226-π/2
    1.66366015210645-1.57079632675     		φ = 0.09286383
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09606555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.504151°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.09286383 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.320706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15883 KachelY 15899 -0.09606555 0.09286383 -5.504151 5.320706
    Oben rechts KachelX + 1 15884 KachelY 15899 -0.09587380 0.09286383 -5.493164 5.320706
    Unten links KachelX 15883 KachelY + 1 15900 -0.09606555 0.09267290 -5.504151 5.309766
    Unten rechts KachelX + 1 15884 KachelY + 1 15900 -0.09587380 0.09267290 -5.493164 5.309766
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.09286383-0.09267290) × R
    0.000190929999999992 × 6371000     		dl = 1216.41502999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.09286383-0.09267290) × R
    0.000190929999999992 × 6371000     		dr = 1216.41502999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09606555--0.09587380) × cos(0.09286383) × R
    0.000191750000000004 × 0.995691252316818 × 6371000     		do = 1216.37551471191m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09606555--0.09587380) × cos(0.09267290) × R
    0.000191750000000004 × 0.995708939186449 × 6371000     		du = 1216.39712168606m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.09286383)-sin(0.09267290))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995691252316818-0.995708939186449)×R²
    abs(-0.09587380--0.09606555)×1.76868696314392e-05×R²
    0.000191750000000004×1.76868696314392e-05×6371000²
    0.000191750000000004×1.76868696314392e-05×40589641000000     		ar = 1479630.60423842m²