Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15882 / 15890
↖ ↑ ↗
← N  5.419148°
W  5.515136°		 ← 1 216.12 m → N  5.419148°
W  5.504151°		 →
↑
1 216.16 m
↓
↑
1 216.16 m
↓
N  5.408211°
W  5.515136°		 ← 1 216.14 m →
1 479 005 m²		 N  5.408211°
W  5.504151°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15882 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15890 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484695434570312 y=0.484939575195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484695434570312 × 215)
    floor (0.484695434570312 × 32768)
    floor (15882.5)     		tx = 15882
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.484939575195312 × 215)
    floor (0.484939575195312 × 32768)
    floor (15890.5)     		ty = 15890
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15882 / 15890 ti = "15/15882/15890"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15882/15890.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15882 ÷ 215
    15882 ÷ 32768     		x = 0.48468017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15890 ÷ 215
    15890 ÷ 32768     		y = 0.48492431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48468017578125 × 2 - 1) × π
    -0.0306396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.09625729
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.48492431640625 × 2 - 1) × π
    0.0301513671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.094723313649231
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09625729} λ = -0.09625729}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.094723313649231))-π/2
    2×atan(1.09935463661888)-π/2
    2×0.832689153220124-π/2
    1.66537830644025-1.57079632675     		φ = 0.09458198
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09625729} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.515136°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.09458198 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.419148°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15882 KachelY 15890 -0.09625729 0.09458198 -5.515136 5.419148
    Oben rechts KachelX + 1 15883 KachelY 15890 -0.09606555 0.09458198 -5.504151 5.419148
    Unten links KachelX 15882 KachelY + 1 15891 -0.09625729 0.09439109 -5.515136 5.408211
    Unten rechts KachelX + 1 15883 KachelY + 1 15891 -0.09606555 0.09439109 -5.504151 5.408211
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.09458198-0.09439109) × R
    0.000190889999999999 × 6371000     		dl = 1216.16018999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.09458198-0.09439109) × R
    0.000190889999999999 × 6371000     		dr = 1216.16018999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09625729--0.09606555) × cos(0.09458198) × R
    0.000191739999999996 × 0.995530457971326 × 6371000     		do = 1216.11565678274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09625729--0.09606555) × cos(0.09439109) × R
    0.000191739999999996 × 0.995548467680465 × 6371000     		du = 1216.13765700291m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.09458198)-sin(0.09439109))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995530457971326-0.995548467680465)×R²
    abs(-0.09606555--0.09625729)×1.80097091384557e-05×R²
    0.000191739999999996×1.80097091384557e-05×6371000²
    0.000191739999999996×1.80097091384557e-05×40589641000000     		ar = 1479004.83060196m²