Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15881 / 15918
↖ ↑ ↗
← N  5.112830°
W  5.526123°		 ← 1 216.78 m → N  5.112830°
W  5.515136°		 →
↑
1 216.73 m
↓
↑
1 216.73 m
↓
N  5.101887°
W  5.526123°		 ← 1 216.80 m →
1 480 508 m²		 N  5.101887°
W  5.515136°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15881 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15918 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484664916992188 y=0.485794067382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484664916992188 × 215)
    floor (0.484664916992188 × 32768)
    floor (15881.5)     		tx = 15881
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.485794067382812 × 215)
    floor (0.485794067382812 × 32768)
    floor (15918.5)     		ty = 15918
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15881 / 15918 ti = "15/15881/15918"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15881/15918.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15881 ÷ 215
    15881 ÷ 32768     		x = 0.484649658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15918 ÷ 215
    15918 ÷ 32768     		y = 0.48577880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484649658203125 × 2 - 1) × π
    -0.03070068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.09644904
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.48577880859375 × 2 - 1) × π
    0.0284423828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0893543808917847
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09644904} λ = -0.09644904}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0893543808917847))-π/2
    2×atan(1.09346809186993)-π/2
    2×0.83001602026059-π/2
    1.66003204052118-1.57079632675     		φ = 0.08923571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09644904} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.526123°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.08923571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.112830°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15881 KachelY 15918 -0.09644904 0.08923571 -5.526123 5.112830
    Oben rechts KachelX + 1 15882 KachelY 15918 -0.09625729 0.08923571 -5.515136 5.112830
    Unten links KachelX 15881 KachelY + 1 15919 -0.09644904 0.08904473 -5.526123 5.101887
    Unten rechts KachelX + 1 15882 KachelY + 1 15919 -0.09625729 0.08904473 -5.515136 5.101887
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.08923571-0.08904473) × R
    0.000190979999999993 × 6371000     		dl = 1216.73357999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.08923571-0.08904473) × R
    0.000190979999999993 × 6371000     		dr = 1216.73357999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09644904--0.09625729) × cos(0.08923571) × R
    0.000191750000000004 × 0.996021135394169 × 6371000     		do = 1216.77851282711m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09644904--0.09625729) × cos(0.08904473) × R
    0.000191750000000004 × 0.996038136856925 × 6371000     		du = 1216.79928248132m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.08923571)-sin(0.08904473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.996021135394169-0.996038136856925)×R²
    abs(-0.09625729--0.09644904)×1.70014627558501e-05×R²
    0.000191750000000004×1.70014627558501e-05×6371000²
    0.000191750000000004×1.70014627558501e-05×40589641000000     		ar = 1480507.916047m²