Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15566 / 16080
↖ ↑ ↗
← N  3.337954°
W  8.986817°		 ← 1 219.57 m → N  3.337954°
W  8.975830°		 →
↑
1 219.60 m
↓
↑
1 219.60 m
↓
N  3.326986°
W  8.986817°		 ← 1 219.58 m →
1 487 392 m²		 N  3.326986°
W  8.975830°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15566 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16080 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475051879882812 y=0.490737915039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475051879882812 × 215)
    floor (0.475051879882812 × 32768)
    floor (15566.5)     		tx = 15566
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.490737915039062 × 215)
    floor (0.490737915039062 × 32768)
    floor (16080.5)     		ty = 16080
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15566 / 16080 ti = "15/15566/16080"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15566/16080.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15566 ÷ 215
    15566 ÷ 32768     		x = 0.47503662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16080 ÷ 215
    16080 ÷ 32768     		y = 0.49072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47503662109375 × 2 - 1) × π
    -0.0499267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15684954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49072265625 × 2 - 1) × π
    0.0185546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0582912699379883
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15684954} λ = -0.15684954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0582912699379883))-π/2
    2×atan(1.06002370378788)-π/2
    2×0.814527306849969-π/2
    1.62905461369994-1.57079632675     		φ = 0.05825829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15684954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.986817°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05825829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.337954°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15566 KachelY 16080 -0.15684954 0.05825829 -8.986817 3.337954
    Oben rechts KachelX + 1 15567 KachelY 16080 -0.15665779 0.05825829 -8.975830 3.337954
    Unten links KachelX 15566 KachelY + 1 16081 -0.15684954 0.05806686 -8.986817 3.326986
    Unten rechts KachelX + 1 15567 KachelY + 1 16081 -0.15665779 0.05806686 -8.975830 3.326986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05825829-0.05806686) × R
    0.000191429999999999 × 6371000     		dl = 1219.60053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05825829-0.05806686) × R
    0.000191429999999999 × 6371000     		dr = 1219.60053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15684954--0.15665779) × cos(0.05825829) × R
    0.000191750000000018 × 0.998303465745026 × 6371000     		do = 1219.56669716527m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15684954--0.15665779) × cos(0.05806686) × R
    0.000191750000000018 × 0.998314593530261 × 6371000     		du = 1219.58029130448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05825829)-sin(0.05806686))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998303465745026-0.998314593530261)×R²
    abs(-0.15665779--0.15684954)×1.11277852349323e-05×R²
    0.000191750000000018×1.11277852349323e-05×6371000²
    0.000191750000000018×1.11277852349323e-05×40589641000000     		ar = 1487392.48448497m²