Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15420 / 13291
↖ ↑ ↗
← N 32.147711°
W 10.590820°		 ← 1 034.28 m → N 32.147711°
W 10.579834°		 →
↑
1 034.40 m
↓
↑
1 034.40 m
↓
N 32.138409°
W 10.590820°		 ← 1 034.39 m →
1 069 912 m²		 N 32.138409°
W 10.579834°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13291 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470596313476562 y=0.405624389648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470596313476562 × 215)
    floor (0.470596313476562 × 32768)
    floor (15420.5)     		tx = 15420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405624389648438 × 215)
    floor (0.405624389648438 × 32768)
    floor (13291.5)     		ty = 13291
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15420 / 13291 ti = "15/15420/13291"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15420/13291.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15420 ÷ 215
    15420 ÷ 32768     		x = 0.4705810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13291 ÷ 215
    13291 ÷ 32768     		y = 0.405609130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4705810546875 × 2 - 1) × π
    -0.058837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.18484468
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.405609130859375 × 2 - 1) × π
    0.18878173828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.593075322099335
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18484468} λ = -0.18484468}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.593075322099335))-π/2
    2×atan(1.80954480029613)-π/2
    2×1.06593986593064-π/2
    2.13187973186129-1.57079632675     		φ = 0.56108341
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18484468} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.590820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56108341 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.147711°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15420 KachelY 13291 -0.18484468 0.56108341 -10.590820 32.147711
    Oben rechts KachelX + 1 15421 KachelY 13291 -0.18465294 0.56108341 -10.579834 32.147711
    Unten links KachelX 15420 KachelY + 1 13292 -0.18484468 0.56092105 -10.590820 32.138409
    Unten rechts KachelX + 1 15421 KachelY + 1 13292 -0.18465294 0.56092105 -10.579834 32.138409
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56108341-0.56092105) × R
    0.000162359999999917 × 6371000     		dl = 1034.39555999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56108341-0.56092105) × R
    0.000162359999999917 × 6371000     		dr = 1034.39555999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18484468--0.18465294) × cos(0.56108341) × R
    0.000191740000000024 × 0.846679121442981 × 6371000     		do = 1034.28250498356m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18484468--0.18465294) × cos(0.56092105) × R
    0.000191740000000024 × 0.846765502657742 × 6371000     		du = 1034.38802616263m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56108341)-sin(0.56092105))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.846679121442981-0.846765502657742)×R²
    abs(-0.18465294--0.18484468)×8.63812147616771e-05×R²
    0.000191740000000024×8.63812147616771e-05×6371000²
    0.000191740000000024×8.63812147616771e-05×40589641000000     		ar = 1069911.8086097m²