Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15405 / 13297
↖ ↑ ↗
← N 32.091882°
W 10.755615°		 ← 1 034.97 m → N 32.091882°
W 10.744629°		 →
↑
1 034.97 m
↓
↑
1 034.97 m
↓
N 32.082575°
W 10.755615°		 ← 1 035.07 m →
1 071 216 m²		 N 32.082575°
W 10.744629°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15405 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13297 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470138549804688 y=0.405807495117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470138549804688 × 215)
    floor (0.470138549804688 × 32768)
    floor (15405.5)     		tx = 15405
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405807495117188 × 215)
    floor (0.405807495117188 × 32768)
    floor (13297.5)     		ty = 13297
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15405 / 13297 ti = "15/15405/13297"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15405/13297.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15405 ÷ 215
    15405 ÷ 32768     		x = 0.470123291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13297 ÷ 215
    13297 ÷ 32768     		y = 0.405792236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470123291015625 × 2 - 1) × π
    -0.05975341796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18772090
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.405792236328125 × 2 - 1) × π
    0.18841552734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.591924836508453
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18772090} λ = -0.18772090}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.591924836508453))-π/2
    2×atan(1.80746414219042)-π/2
    2×1.06545267083174-π/2
    2.13090534166349-1.57079632675     		φ = 0.56010901
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18772090} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.755615°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56010901 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.091882°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15405 KachelY 13297 -0.18772090 0.56010901 -10.755615 32.091882
    Oben rechts KachelX + 1 15406 KachelY 13297 -0.18752915 0.56010901 -10.744629 32.091882
    Unten links KachelX 15405 KachelY + 1 13298 -0.18772090 0.55994656 -10.755615 32.082575
    Unten rechts KachelX + 1 15406 KachelY + 1 13298 -0.18752915 0.55994656 -10.744629 32.082575
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56010901-0.55994656) × R
    0.000162450000000036 × 6371000     		dl = 1034.96895000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56010901-0.55994656) × R
    0.000162450000000036 × 6371000     		dr = 1034.96895000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18772090--0.18752915) × cos(0.56010901) × R
    0.000191749999999991 × 0.847197201372053 × 6371000     		do = 1034.9693536862m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18772090--0.18752915) × cos(0.55994656) × R
    0.000191749999999991 × 0.84728349639401 × 6371000     		du = 1035.0747750721m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56010901)-sin(0.55994656))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.847197201372053-0.84728349639401)×R²
    abs(-0.18752915--0.18772090)×8.62950219567837e-05×R²
    0.000191749999999991×8.62950219567837e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.62950219567837e-05×40589641000000     		ar = 1071215.70155373m²