Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15357 / 13323
↖ ↑ ↗
← N 31.849565°
W 11.282959°		 ← 1 037.65 m → N 31.849565°
W 11.271973°		 →
↑
1 037.77 m
↓
↑
1 037.77 m
↓
N 31.840232°
W 11.282959°		 ← 1 037.76 m →
1 076 900 m²		 N 31.840232°
W 11.271973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15357 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13323 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468673706054688 y=0.406600952148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468673706054688 × 215)
    floor (0.468673706054688 × 32768)
    floor (15357.5)     		tx = 15357
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406600952148438 × 215)
    floor (0.406600952148438 × 32768)
    floor (13323.5)     		ty = 13323
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15357 / 13323 ti = "15/15357/13323"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15357/13323.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15357 ÷ 215
    15357 ÷ 32768     		x = 0.468658447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13323 ÷ 215
    13323 ÷ 32768     		y = 0.406585693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468658447265625 × 2 - 1) × π
    -0.06268310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19692478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406585693359375 × 2 - 1) × π
    0.18682861328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.586939398947968
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19692478} λ = -0.19692478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.586939398947968))-π/2
    2×atan(1.79847556717374)-π/2
    2×1.06333805354437-π/2
    2.12667610708874-1.57079632675     		φ = 0.55587978
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19692478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.282959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55587978 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.849565°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15357 KachelY 13323 -0.19692478 0.55587978 -11.282959 31.849565
    Oben rechts KachelX + 1 15358 KachelY 13323 -0.19673304 0.55587978 -11.271973 31.849565
    Unten links KachelX 15357 KachelY + 1 13324 -0.19692478 0.55571689 -11.282959 31.840232
    Unten rechts KachelX + 1 15358 KachelY + 1 13324 -0.19673304 0.55571689 -11.271973 31.840232
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55587978-0.55571689) × R
    0.000162890000000027 × 6371000     		dl = 1037.77219000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55587978-0.55571689) × R
    0.000162890000000027 × 6371000     		dr = 1037.77219000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19692478--0.19673304) × cos(0.55587978) × R
    0.000191739999999996 × 0.849436517236074 × 6371000     		do = 1037.65087223835m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19692478--0.19673304) × cos(0.55571689) × R
    0.000191739999999996 × 0.849522461524508 × 6371000     		du = 1037.75585967891m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55587978)-sin(0.55571689))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849436517236074-0.849522461524508)×R²
    abs(-0.19673304--0.19692478)×8.59442884338923e-05×R²
    0.000191739999999996×8.59442884338923e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.59442884338923e-05×40589641000000     		ar = 1076899.69704291m²