Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15356 / 13326
↖ ↑ ↗
← N 31.821564°
W 11.293945°		 ← 1 038.02 m → N 31.821564°
W 11.282959°		 →
↑
1 038.03 m
↓
↑
1 038.03 m
↓
N 31.812229°
W 11.293945°		 ← 1 038.12 m →
1 077 547 m²		 N 31.812229°
W 11.282959°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15356 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13326 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468643188476562 y=0.406692504882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468643188476562 × 215)
    floor (0.468643188476562 × 32768)
    floor (15356.5)     		tx = 15356
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406692504882812 × 215)
    floor (0.406692504882812 × 32768)
    floor (13326.5)     		ty = 13326
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15356 / 13326 ti = "15/15356/13326"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15356/13326.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15356 ÷ 215
    15356 ÷ 32768     		x = 0.4686279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13326 ÷ 215
    13326 ÷ 32768     		y = 0.40667724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4686279296875 × 2 - 1) × π
    -0.062744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19711653
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40667724609375 × 2 - 1) × π
    0.1866455078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.586364156152527
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19711653} λ = -0.19711653}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.586364156152527))-π/2
    2×atan(1.79744130456552)-π/2
    2×1.06309370035091-π/2
    2.12618740070182-1.57079632675     		φ = 0.55539107
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19711653} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.293945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55539107 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.821564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15356 KachelY 13326 -0.19711653 0.55539107 -11.293945 31.821564
    Oben rechts KachelX + 1 15357 KachelY 13326 -0.19692478 0.55539107 -11.282959 31.821564
    Unten links KachelX 15356 KachelY + 1 13327 -0.19711653 0.55522814 -11.293945 31.812229
    Unten rechts KachelX + 1 15357 KachelY + 1 13327 -0.19692478 0.55522814 -11.282959 31.812229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55539107-0.55522814) × R
    0.000162930000000006 × 6371000     		dl = 1038.02703000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55539107-0.55522814) × R
    0.000162930000000006 × 6371000     		dr = 1038.02703000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19711653--0.19692478) × cos(0.55539107) × R
    0.000191750000000018 × 0.849694303568596 × 6371000     		do = 1038.01991174091m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19711653--0.19692478) × cos(0.55522814) × R
    0.000191750000000018 × 0.849780201308617 × 6371000     		du = 1038.12484779161m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55539107)-sin(0.55522814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849694303568596-0.849780201308617)×R²
    abs(-0.19692478--0.19711653)×8.58977400206573e-05×R²
    0.000191750000000018×8.58977400206573e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.58977400206573e-05×40589641000000     		ar = 1077547.19167706m²