Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15355 / 13327
↖ ↑ ↗
← N 31.812229°
W 11.304932°		 ← 1 038.12 m → N 31.812229°
W 11.293945°		 →
↑
1 038.15 m
↓
↑
1 038.15 m
↓
N 31.802893°
W 11.304932°		 ← 1 038.23 m →
1 077 788 m²		 N 31.802893°
W 11.293945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15355 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13327 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468612670898438 y=0.406723022460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468612670898438 × 215)
    floor (0.468612670898438 × 32768)
    floor (15355.5)     		tx = 15355
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406723022460938 × 215)
    floor (0.406723022460938 × 32768)
    floor (13327.5)     		ty = 13327
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15355 / 13327 ti = "15/15355/13327"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15355/13327.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15355 ÷ 215
    15355 ÷ 32768     		x = 0.468597412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13327 ÷ 215
    13327 ÷ 32768     		y = 0.406707763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468597412109375 × 2 - 1) × π
    -0.06280517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.19730828
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406707763671875 × 2 - 1) × π
    0.18658447265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.586172408554047
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19730828} λ = -0.19730828}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.586172408554047))-π/2
    2×atan(1.79709668255324)-π/2
    2×1.06301223281212-π/2
    2.12602446562424-1.57079632675     		φ = 0.55522814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19730828} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.304932°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55522814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.812229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15355 KachelY 13327 -0.19730828 0.55522814 -11.304932 31.812229
    Oben rechts KachelX + 1 15356 KachelY 13327 -0.19711653 0.55522814 -11.293945 31.812229
    Unten links KachelX 15355 KachelY + 1 13328 -0.19730828 0.55506519 -11.304932 31.802893
    Unten rechts KachelX + 1 15356 KachelY + 1 13328 -0.19711653 0.55506519 -11.293945 31.802893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55522814-0.55506519) × R
    0.000162949999999995 × 6371000     		dl = 1038.15444999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55522814-0.55506519) × R
    0.000162949999999995 × 6371000     		dr = 1038.15444999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19730828--0.19711653) × cos(0.55522814) × R
    0.000191749999999991 × 0.849780201308617 × 6371000     		do = 1038.12484779146m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19730828--0.19711653) × cos(0.55506519) × R
    0.000191749999999991 × 0.849866087030189 × 6371000     		du = 1038.22976915994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55522814)-sin(0.55506519))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849780201308617-0.849866087030189)×R²
    abs(-0.19711653--0.19730828)×8.58857215726427e-05×R²
    0.000191749999999991×8.58857215726427e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.58857215726427e-05×40589641000000     		ar = 1077788.39506813m²