Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15353 / 13324
↖ ↑ ↗
← N 31.840232°
W 11.326904°		 ← 1 037.76 m → N 31.840232°
W 11.315918°		 →
↑
1 037.84 m
↓
↑
1 037.84 m
↓
N 31.830899°
W 11.326904°		 ← 1 037.86 m →
1 077 075 m²		 N 31.830899°
W 11.315918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15353 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13324 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468551635742188 y=0.406631469726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468551635742188 × 215)
    floor (0.468551635742188 × 32768)
    floor (15353.5)     		tx = 15353
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406631469726562 × 215)
    floor (0.406631469726562 × 32768)
    floor (13324.5)     		ty = 13324
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15353 / 13324 ti = "15/15353/13324"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15353/13324.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15353 ÷ 215
    15353 ÷ 32768     		x = 0.468536376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13324 ÷ 215
    13324 ÷ 32768     		y = 0.4066162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468536376953125 × 2 - 1) × π
    -0.06292724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.19769177
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4066162109375 × 2 - 1) × π
    0.186767578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.586747651349487
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19769177} λ = -0.19769177}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.586747651349487))-π/2
    2×atan(1.7981307468631)-π/2
    2×1.06325661071836-π/2
    2.12651322143673-1.57079632675     		φ = 0.55571689
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19769177} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.326904°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55571689 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.840232°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15353 KachelY 13324 -0.19769177 0.55571689 -11.326904 31.840232
    Oben rechts KachelX + 1 15354 KachelY 13324 -0.19750003 0.55571689 -11.315918 31.840232
    Unten links KachelX 15353 KachelY + 1 13325 -0.19769177 0.55555399 -11.326904 31.830899
    Unten rechts KachelX + 1 15354 KachelY + 1 13325 -0.19750003 0.55555399 -11.315918 31.830899
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55571689-0.55555399) × R
    0.000162899999999966 × 6371000     		dl = 1037.83589999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55571689-0.55555399) × R
    0.000162899999999966 × 6371000     		dr = 1037.83589999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19769177--0.19750003) × cos(0.55571689) × R
    0.000191739999999996 × 0.849522461524508 × 6371000     		do = 1037.75585967891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19769177--0.19750003) × cos(0.55555399) × R
    0.000191739999999996 × 0.849608388546574 × 6371000     		du = 1037.86082602729m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55571689)-sin(0.55555399))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849522461524508-0.849608388546574)×R²
    abs(-0.19750003--0.19769177)×8.59270220657793e-05×R²
    0.000191739999999996×8.59270220657793e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.59270220657793e-05×40589641000000     		ar = 1077074.75791395m²