Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15350 / 13305
↖ ↑ ↗
← N 32.017392°
W 11.359863°		 ← 1 035.81 m → N 32.017392°
W 11.348877°		 →
↑
1 035.86 m
↓
↑
1 035.86 m
↓
N 32.008076°
W 11.359863°		 ← 1 035.92 m →
1 073 012 m²		 N 32.008076°
W 11.348877°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15350 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468460083007812 y=0.406051635742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468460083007812 × 215)
    floor (0.468460083007812 × 32768)
    floor (15350.5)     		tx = 15350
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406051635742188 × 215)
    floor (0.406051635742188 × 32768)
    floor (13305.5)     		ty = 13305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15350 / 13305 ti = "15/15350/13305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15350/13305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15350 ÷ 215
    15350 ÷ 32768     		x = 0.46844482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13305 ÷ 215
    13305 ÷ 32768     		y = 0.406036376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46844482421875 × 2 - 1) × π
    -0.0631103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19826702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406036376953125 × 2 - 1) × π
    0.18792724609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.590390855720612
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19826702} λ = -0.19826702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.590390855720612))-π/2
    2×atan(1.80469365240391)-π/2
    2×1.06480261404877-π/2
    2.12960522809754-1.57079632675     		φ = 0.55880890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19826702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.359863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55880890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.017392°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15350 KachelY 13305 -0.19826702 0.55880890 -11.359863 32.017392
    Oben rechts KachelX + 1 15351 KachelY 13305 -0.19807527 0.55880890 -11.348877 32.017392
    Unten links KachelX 15350 KachelY + 1 13306 -0.19826702 0.55864631 -11.359863 32.008076
    Unten rechts KachelX + 1 15351 KachelY + 1 13306 -0.19807527 0.55864631 -11.348877 32.008076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55880890-0.55864631) × R
    0.000162590000000074 × 6371000     		dl = 1035.86089000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55880890-0.55864631) × R
    0.000162590000000074 × 6371000     		dr = 1035.86089000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19826702--0.19807527) × cos(0.55880890) × R
    0.000191749999999991 × 0.847887205735677 × 6371000     		do = 1035.81229009948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19826702--0.19807527) × cos(0.55864631) × R
    0.000191749999999991 × 0.847973395950598 × 6371000     		du = 1035.91758344899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55880890)-sin(0.55864631))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.847887205735677-0.847973395950598)×R²
    abs(-0.19807527--0.19826702)×8.61902149214e-05×R²
    0.000191749999999991×8.61902149214e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.61902149214e-05×40589641000000     		ar = 1073011.97769137m²