Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15341 / 13293
↖ ↑ ↗
← N 32.129105°
W 11.458741°		 ← 1 034.55 m → N 32.129105°
W 11.447754°		 →
↑
1 034.59 m
↓
↑
1 034.59 m
↓
N 32.119801°
W 11.458741°		 ← 1 034.65 m →
1 070 384 m²		 N 32.119801°
W 11.447754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15341 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13293 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468185424804688 y=0.405685424804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468185424804688 × 215)
    floor (0.468185424804688 × 32768)
    floor (15341.5)     		tx = 15341
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405685424804688 × 215)
    floor (0.405685424804688 × 32768)
    floor (13293.5)     		ty = 13293
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15341 / 13293 ti = "15/15341/13293"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15341/13293.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15341 ÷ 215
    15341 ÷ 32768     		x = 0.468170166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13293 ÷ 215
    13293 ÷ 32768     		y = 0.405670166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468170166015625 × 2 - 1) × π
    -0.06365966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19999275
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.405670166015625 × 2 - 1) × π
    0.18865966796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.592691826902374
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19999275} λ = -0.19999275}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.592691826902374))-π/2
    2×atan(1.80885098160311)-π/2
    2×1.06577750067927-π/2
    2.13155500135854-1.57079632675     		φ = 0.56075867
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19999275} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.458741°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56075867 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.129105°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15341 KachelY 13293 -0.19999275 0.56075867 -11.458741 32.129105
    Oben rechts KachelX + 1 15342 KachelY 13293 -0.19980100 0.56075867 -11.447754 32.129105
    Unten links KachelX 15341 KachelY + 1 13294 -0.19999275 0.56059628 -11.458741 32.119801
    Unten rechts KachelX + 1 15342 KachelY + 1 13294 -0.19980100 0.56059628 -11.447754 32.119801
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56075867-0.56059628) × R
    0.000162390000000068 × 6371000     		dl = 1034.58669000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56075867-0.56059628) × R
    0.000162390000000068 × 6371000     		dr = 1034.58669000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19999275--0.19980100) × cos(0.56075867) × R
    0.000191749999999991 × 0.846851872187691 × 6371000     		do = 1034.54748600042m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19999275--0.19980100) × cos(0.56059628) × R
    0.000191749999999991 × 0.846938224705385 × 6371000     		du = 1034.65297762537m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56075867)-sin(0.56059628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.846851872187691-0.846938224705385)×R²
    abs(-0.19980100--0.19999275)×8.63525176941771e-05×R²
    0.000191749999999991×8.63525176941771e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.63525176941771e-05×40589641000000     		ar = 1070383.63165707m²