Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15341 / 13283
↖ ↑ ↗
← N 32.222096°
W 11.458741°		 ← 1 033.49 m → N 32.222096°
W 11.447754°		 →
↑
1 033.50 m
↓
↑
1 033.50 m
↓
N 32.212801°
W 11.458741°		 ← 1 033.60 m →
1 068 172 m²		 N 32.212801°
W 11.447754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15341 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13283 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468185424804688 y=0.405380249023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468185424804688 × 215)
    floor (0.468185424804688 × 32768)
    floor (15341.5)     		tx = 15341
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405380249023438 × 215)
    floor (0.405380249023438 × 32768)
    floor (13283.5)     		ty = 13283
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15341 / 13283 ti = "15/15341/13283"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15341/13283.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15341 ÷ 215
    15341 ÷ 32768     		x = 0.468170166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13283 ÷ 215
    13283 ÷ 32768     		y = 0.405364990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468170166015625 × 2 - 1) × π
    -0.06365966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19999275
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.405364990234375 × 2 - 1) × π
    0.18927001953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.594609302887177
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19999275} λ = -0.19999275}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.594609302887177))-π/2
    2×atan(1.81232273736084)-π/2
    2×1.06658899554523-π/2
    2.13317799109045-1.57079632675     		φ = 0.56238166
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19999275} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.458741°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56238166 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.222096°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15341 KachelY 13283 -0.19999275 0.56238166 -11.458741 32.222096
    Oben rechts KachelX + 1 15342 KachelY 13283 -0.19980100 0.56238166 -11.447754 32.222096
    Unten links KachelX 15341 KachelY + 1 13284 -0.19999275 0.56221944 -11.458741 32.212801
    Unten rechts KachelX + 1 15342 KachelY + 1 13284 -0.19980100 0.56221944 -11.447754 32.212801
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56238166-0.56221944) × R
    0.000162219999999991 × 6371000     		dl = 1033.50361999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56238166-0.56221944) × R
    0.000162219999999991 × 6371000     		dr = 1033.50361999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19999275--0.19980100) × cos(0.56238166) × R
    0.000191749999999991 × 0.845987604345993 × 6371000     		do = 1033.49166248248m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19999275--0.19980100) × cos(0.56221944) × R
    0.000191749999999991 × 0.846074089334179 × 6371000     		du = 1033.59731593859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56238166)-sin(0.56221944))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.845987604345993-0.846074089334179)×R²
    abs(-0.19980100--0.19999275)×8.64849881854202e-05×R²
    0.000191749999999991×8.64849881854202e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.64849881854202e-05×40589641000000     		ar = 1068171.97337224m²