Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15334 / 13337
↖ ↑ ↗
← N 31.718822°
W 11.535645°		 ← 1 039.17 m → N 31.718822°
W 11.524658°		 →
↑
1 039.17 m
↓
↑
1 039.17 m
↓
N 31.709477°
W 11.535645°		 ← 1 039.28 m →
1 079 936 m²		 N 31.709477°
W 11.524658°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15334 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13337 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467971801757812 y=0.407028198242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467971801757812 × 215)
    floor (0.467971801757812 × 32768)
    floor (15334.5)     		tx = 15334
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407028198242188 × 215)
    floor (0.407028198242188 × 32768)
    floor (13337.5)     		ty = 13337
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15334 / 13337 ti = "15/15334/13337"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15334/13337.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15334 ÷ 215
    15334 ÷ 32768     		x = 0.46795654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13337 ÷ 215
    13337 ÷ 32768     		y = 0.407012939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46795654296875 × 2 - 1) × π
    -0.0640869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.20133498
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.407012939453125 × 2 - 1) × π
    0.18597412109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.584254932569244
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20133498} λ = -0.20133498}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.584254932569244))-π/2
    2×atan(1.7936540944169)-π/2
    2×1.06219710472285-π/2
    2.1243942094457-1.57079632675     		φ = 0.55359788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20133498} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.535645°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55359788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.718822°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15334 KachelY 13337 -0.20133498 0.55359788 -11.535645 31.718822
    Oben rechts KachelX + 1 15335 KachelY 13337 -0.20114323 0.55359788 -11.524658 31.718822
    Unten links KachelX 15334 KachelY + 1 13338 -0.20133498 0.55343477 -11.535645 31.709477
    Unten rechts KachelX + 1 15335 KachelY + 1 13338 -0.20114323 0.55343477 -11.524658 31.709477
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55359788-0.55343477) × R
    0.000163110000000022 × 6371000     		dl = 1039.17381000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55359788-0.55343477) × R
    0.000163110000000022 × 6371000     		dr = 1039.17381000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20133498--0.20114323) × cos(0.55359788) × R
    0.000191749999999991 × 0.850638442341118 × 6371000     		do = 1039.17330872272m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20133498--0.20114323) × cos(0.55343477) × R
    0.000191749999999991 × 0.850724186290394 × 6371000     		du = 1039.27805689661m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55359788)-sin(0.55343477))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.850638442341118-0.850724186290394)×R²
    abs(-0.20114323--0.20133498)×8.57439492751855e-05×R²
    0.000191749999999991×8.57439492751855e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.57439492751855e-05×40589641000000     		ar = 1079936.11465015m²